司机帮老板到银行存钱这一行为本身并不直接构成犯罪，但是否构成犯罪需根据具体情况来判断。以下是从不同角度进行的分析：
无犯罪意图与行为：
- 如果司机仅仅是按照老板的指示，将钱款带到银行进行存款，且没有参与任何非法活动，如洗钱、诈骗等，那么这一行为本身并不构成犯罪。司机只是执行了一个普通的民事行为，即代为存款。
可能涉及的犯罪情形：
- 洗钱罪：如果司机知道或应当知道所存的钱款是老板通过非法手段获得的，如贩毒、贪污等，且仍然帮助存款以掩盖其非法来源，那么司机可能构成洗钱罪的共犯。洗钱罪是指为掩饰、隐瞒毒品犯罪、黑社会性质的组织犯罪、恐怖活动犯罪、走私犯罪、贪污贿赂犯罪、破坏金融管理秩序犯罪、金融诈骗犯罪的所得及其产生的收益的来源和性质，而提供资金账户、协助将财产转换为现金或者金融票据、通过转账或者其他结算方式协助资金转移、协助将资金汇往境外，或者以其他方法掩饰、隐瞒犯罪所得及其收益的来源和性质的行为。
- 掩饰、隐瞒犯罪所得、犯罪所得收益罪：如果司机明知是犯罪所得及其产生的收益而予以窝藏、转移、收购、代为销售或者以其他方法掩饰、隐瞒的，也可能构成此罪。不过，这一罪名通常更侧重于对犯罪所得的直接处理，如藏匿、变卖等，而单纯的存款行为可能较难直接认定为该罪，除非存款行为是掩饰、隐瞒犯罪所得的一部分。
- 其他犯罪共犯：如果司机与老板共同实施了其他犯罪行为，如诈骗、贪污等，且存款行为是这些犯罪行为的一部分或辅助行为，那么司机可能构成相应犯罪的共犯。
法律建议与后果：
- 法律建议：对于司机而言，如果老板要求其进行存款等财务活动，且司机对钱款的来源或性质存在疑虑，应当谨慎对待并询问清楚。如果发现钱款可能涉及非法活动，应拒绝参与并及时向相关部门报告。
- 法律后果：如果司机因帮助老板存款而涉及犯罪，将可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、罚金等。具体刑罚将根据犯罪的性质、情节以及司机的参与程度等因素来确定。
总结来说，司机帮老板到银行存钱这一行为本身并不构成犯罪，但需根据具体情况判断是否存在犯罪意图或行为。如果司机对钱款的来源或性质存在疑虑，应当谨慎对待并避免参与可能涉及非法活动的行为。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。