结论：在判决书显示雇主享有向雇员追偿的权利的情况下，雇主通常不能直接申请执行，而是需要另外提起追偿权诉讼。
分析说明：
执行与诉讼的区别：
- 执行程序是基于已经生效的法律文书（如判决书、裁定书等），由法院强制被执行人履行义务的程序。
- 诉讼程序则是当事人之间就争议事项向法院提起，由法院进行审理并作出判决的程序。
追偿权的性质：
- 追偿权通常是一种新的权利主张，它基于原判决中确定的雇主与雇员之间的法律关系，但追偿的具体金额、事实和理由等可能需要进一步的审理和确认。
- 即使原判决中提到了雇主享有追偿权，但这并不意味着追偿的具体金额和事实已经确定，因此不能直接申请执行。
法律程序的要求：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行程序需要明确的执行依据，即已经生效的法律文书，并且该法律文书需要具有明确的给付内容。
- 在追偿权的情况下，由于追偿的具体金额和事实可能尚未确定，因此无法直接作为执行依据。雇主需要另行提起诉讼，通过诉讼程序来确定追偿的具体金额和事实。
特殊情况说明：
- 如果原判决中已经明确确定了雇主可以向雇员追偿的具体金额和事实，并且该判决已经生效，那么在这种情况下，雇主可能可以直接依据该判决申请执行。但这种情况相对较少见，因为通常原判决只会确定雇主享有追偿权，而不会具体确定追偿的金额和事实。
行动建议：
- 提起追偿权诉讼：雇主在判决书显示享有追偿权的情况下，应另行向法院提起追偿权诉讼，通过诉讼程序来确定追偿的具体金额和事实。
- 准备相关证据：在提起追偿权诉讼前，雇主应收集并整理相关证据，如雇员的过错证据、损失证据等，以支持其追偿请求。
- 咨询专业律师：由于法律程序复杂且涉及专业法律知识，雇主在提起追偿权诉讼前应咨询专业律师，以确保其权益得到充分保障。
法律后果提示：
- 如果雇主未经诉讼程序直接申请执行，可能会因缺乏明确的执行依据而被法院驳回申请。
- 如果雇主通过诉讼程序成功确定了追偿的具体金额和事实，并获得了法院的判决支持，那么其可以依据该判决申请执行，要求雇员履行给付义务。