结论：若您作为商家销售了过期的眉笔给顾客，顾客有权要求赔偿。您应当积极与顾客协商解决，若协商不成，顾客可能会通过法律途径来维护自己的权益。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景
消费者权益保护法：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品时享有安全保障权、知悉真情权、自主选择权等基本权利。商家销售过期商品，显然侵犯了消费者的安全保障权和知悉真情权。
- 商家若存在欺诈行为（如故意销售过期商品），消费者还有权要求商家承担惩罚性赔偿责任。
产品质量法：
- 《中华人民共和国产品质量法》规定，销售者应当保证其销售的产品符合保障人体健康和人身、财产安全的国家标准、行业标准。过期眉笔可能因成分变质而对消费者造成损害，因此商家需承担相应责任。
二、赔偿依据与方式
赔偿依据：
- 顾客可以依据上述法律法规，要求商家承担因销售过期商品而造成的损失，包括但不限于退货、换货、修理、重作、减少价款或者报酬等民事责任。
- 若因过期眉笔导致顾客人身损害或财产损失，顾客还有权要求商家承担相应的赔偿责任。
赔偿方式：
- 协商赔偿：商家应主动与顾客沟通，了解顾客的具体诉求，并尝试通过协商达成赔偿协议。这通常是最快捷、最经济的解决方式。
- 法律途径：若协商不成，顾客可以向消费者协会投诉，或者向人民法院提起诉讼，要求商家承担法律责任。
三、商家应对建议
立即下架过期商品：
- 商家应立即停止销售过期眉笔，并对库存商品进行全面检查，确保不再销售过期或变质商品。
积极与顾客沟通：
- 商家应主动联系顾客，表达歉意，并了解顾客的具体诉求。通过积极沟通，商家可以更好地理解顾客的需求，从而更有效地解决问题。
协商赔偿方案：
- 根据顾客的损失情况，商家应提出合理的赔偿方案。这可以包括退货、换货、补偿损失等。商家应确保赔偿方案公平、合理，以维护自身信誉和顾客关系。
加强内部管理：
- 商家应加强商品管理，建立完善的商品进货、销售、库存管理制度，确保商品在保质期内销售。同时，商家还应定期对员工进行培训，提高员工的法律意识和商品管理意识。
四、可能面临的法律后果
行政处罚：
- 若商家销售过期商品的行为被市场监管部门发现，可能会面临行政处罚，包括罚款、没收违法所得、责令停业整顿等。
民事赔偿：
- 若顾客因使用过期眉笔而遭受损失，商家需承担相应的民事赔偿责任。这可能包括赔偿顾客的医疗费、误工费、财产损失等。
信誉损失：
- 销售过期商品还会对商家的信誉造成严重影响。在竞争激烈的市场环境中，信誉是商家的重要资产。一旦信誉受损，商家可能会面临顾客流失、销售额下降等不利后果。
作为陈澄宇律师，我建议您在遇到此类问题时，应积极与顾客沟通协商，寻求妥善解决方案。若您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问，我将竭诚为您提供专业的法律服务。