结论前置：私家车在紧急运送病人的过程中，若因救助需要而闯红灯，事后可依法向交警部门申诉并提供相关证据。若证据充分且情况属实，一般可撤销相应违章处罚。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《道路交通安全违法行为处理程序规定（2020年修订本）》第二十二条，交通技术监控设备记录或者录入道路交通违法信息管理系统的违法行为信息，若存在因救助危难或者紧急避险造成的情形，并经核实的，违法行为发生地或者机动车登记地公安机关交通管理部门应当自核实之日起三日内予以消除。这一条款为私家车在紧急情况下闯红灯提供了法律上的申诉依据。

2. 准备材料：

   • 医院相关证明：包括急诊病历、诊断证明等，这些文件应详细记录患者的就诊时间、病情等信息，以证明送医的紧迫性。
   • 行车记录仪视频：如果车内安装了行车记录仪，其记录的视频可以作为直接证据，清晰展示送医过程、患者的紧急状态及闯红灯的具体经过。
   • 病人及其家属的证言：他们的陈述可以进一步说明当时情况的紧急性，为申诉提供有力支持。

3. 申诉流程：

   • 在违法行为发生后的一定期限内（具体期限依当地规定而定），携带准备好的材料前往当地交警大队或相关处理窗口。
   • 向交警部门清晰、诚实地陈述送医的紧急情况、行驶路线、时间等细节，并提出申诉，请求撤销闯红灯的违章处罚。

4. 交警部门审核：

   • 交警部门会对提交的材料进行审核，可能包括查看事发路段的监控视频、核实医院就诊记录等。
   • 若认定私家车闯红灯是为了紧急救助病人且情况属实，一般会依法撤销相应的违章处罚。

5. 注意事项与建议：

   • 行车安全：尽管在紧急情况下可能需要违反交通规则，但驾驶人仍需尽可能确保行车安全，避免对其他交通参与者造成危险。
   • 及时联系：在闯红灯后，务必尽快与交通管理部门联系，并提供相关证明以解释情况。如果条件允许，可以在送医途中拨打110或122向交通管理部门报备。
   • 法律救济途径：若对交警部门的处理结果有异议，可在规定时间内向上一级公安机关交通管理部门申请行政复议，或向当地人民法院提起行政诉讼。

特殊情况处理：

• 如果无法提供充分的证据来证明闯红灯是为了紧急救助病人，那么根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，机动车驾驶人可能会面临警告或二十元以上二百元以下的罚款。因此，保留好所有相关证据至关重要。

总结与建议： 私家车在紧急运送病人的过程中闯红灯，其处理结果取决于是否能提供充分的证据来证明行为的合理性。因此，我建议驾驶员在面临此类情况时，应尽可能收集并保留相关证据，如医院证明、行车记录仪视频等。同时，遵守交通规则并确保行车安全也是至关重要的。如果无法提供证据或对处理结果有异议，可以依法采取进一步的法律救济途径来维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。