结论：组织卖淫的犯罪嫌疑人逃跑后，公安机关是可以跨省进行抓捕的。
法律背景与依据：
刑事案件的管辖原则：
- 根据我国刑事诉讼法的规定，刑事案件一般由犯罪地公安机关管辖。但如果犯罪嫌疑人逃跑，且逃跑后的所在地与犯罪地不在同一省份，那么逃跑地公安机关也有权进行抓捕，或者与犯罪地公安机关联合行动。
跨省抓捕的合法性：
- 公安机关在追捕犯罪嫌疑人时，不受地域限制。一旦发现犯罪嫌疑人的踪迹，无论其逃至何处，公安机关都有权进行抓捕。这是为了维护社会秩序，打击犯罪，保护公民的合法权益。
组织卖淫罪的严重性：
- 组织卖淫罪是一种严重的犯罪行为，不仅违反了社会道德，也触犯了法律。对于此类犯罪，公安机关会采取严厉的措施进行打击，包括跨省抓捕。
法律建议与行动指南：
对于犯罪嫌疑人：
- 如果你是组织卖淫的犯罪嫌疑人，逃跑并不是解决问题的办法。你应该尽快向公安机关投案自首，争取从轻处理。逃跑只会让你面临更严重的法律后果。
对于家属或相关人员：
- 如果你知道犯罪嫌疑人的下落，应该劝其尽快投案自首。同时，你也可以向公安机关提供线索，协助抓捕犯罪嫌疑人。但请注意，不要包庇或协助犯罪嫌疑人逃跑，否则你也可能面临法律责任。
对于公安机关：
- 在跨省抓捕时，公安机关应该严格遵守法律程序，确保抓捕行动的合法性和有效性。同时，也应该加强与其他省份公安机关的协作与配合，共同打击犯罪。
可能的法律后果：
- 如果犯罪嫌疑人被抓捕归案，将面临法律的制裁。根据组织卖淫罪的严重程度，犯罪嫌疑人可能面临有期徒刑、无期徒刑甚至死刑的刑罚。
- 如果家属或相关人员包庇或协助犯罪嫌疑人逃跑，也可能面临法律责任，包括罚款、拘留甚至刑事处罚。
总结与提醒：
组织卖淫是一种严重的犯罪行为，不仅会对社会造成极大的危害，也会让犯罪嫌疑人面临严重的法律后果。因此，我建议犯罪嫌疑人尽快投案自首，争取从轻处理。同时，我也提醒家属和相关人员不要包庇或协助犯罪嫌疑人逃跑，否则也将面临法律责任。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。