结论：在婚姻关系存续期间，若一方不履行抚养子女的义务，另一方（或直接抚养子女的一方代表子女）完全有权向法院起诉，要求其支付抚养费或确认抚养权归属，但严格来说“起诉婚内抚养权”这一表述并不十分准确，我们更常说的是起诉要求支付抚养费或确认抚养权。接下来，我将从多个角度为你详细分析。
法律背景与依据
根据《民法典》第一千零六十七条的明确规定，父母对未成年子女或不能独立生活的成年子女负有抚养义务。当父母不履行这一义务时，子女有要求父母给付抚养费的权利。同时，《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十三条进一步指出，即使在婚姻关系存续期间，若父母双方或一方拒不履行抚养子女义务，未成年子女或不能独立生活的成年子女请求支付抚养费的，人民法院应予支持。此外，虽然法律没有直接规定“婚内抚养权”的起诉，但在实际操作中，如果双方对抚养权有争议，且这种争议影响到了子女的健康成长，法院也会根据子女的最佳利益原则进行裁决。
具体适用情形与分析
长期不履行抚养义务：
- 在婚姻关系中，如果一方长期不支付孩子的生活费用、教育费用、医疗费用等，导致孩子的生活、学习等受到实质影响，直接抚养孩子的一方可以作为法定代理人，以孩子的名义向法院提起诉讼，要求另一方支付抚养费。
- 如果双方对抚养权有争议，且这种争议无法通过协商解决，直接抚养孩子的一方也可以向法院提起诉讼，请求法院确认抚养权的归属。
分居状态下的抚养问题：
- 夫妻二人在婚姻关系存续期间处于分居状态，孩子随一方生活，而另一方对孩子既无日常照顾也无经济支持时，抚养孩子的一方同样可以以孩子的名义起诉，要求另一方承担抚养责任，包括支付抚养费。
- 在分居期间，如果双方对抚养权的归属有争议，也可以向法院提起诉讼，请求法院根据子女的最佳利益原则进行裁决。
抚养费数额与支付方式的确定以及抚养权的确认：
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑子女的实际需要、父母的负担能力以及当地的实际生活水平，从而确定合理的抚养费数额和支付方式。这确保了抚养费的判定既符合子女的成长需求，也考虑了父母的实际经济状况。
- 对于抚养权的确认，法院会考虑子女的年龄、健康状况、与父母的情感联系、父母的经济状况和教育能力等多方面因素，以作出最有利于子女成长的裁决。
实际操作建议
- 收集证据：在考虑采取法律行动之前，建议收集相关证据，如支付记录、银行流水、聊天记录、子女的生活照片和视频等，以证明对方未履行抚养义务或双方对抚养权有争议的事实。
- 咨询律师：虽然我已经为你提供了详细的法律分析，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在采取法律行动之前，建议你直接向我咨询，以便更全面地了解自己的权利和义务，制定出更为合理且可行的解决方案。
- 提起诉讼：在必要时，可依法向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费或确认抚养权的归属。在提起诉讼时，务必按照法定程序进行，并准备好充分的证据材料。
综上所述，虽然“起诉婚内抚养权”这一表述并不十分准确，但在婚姻关系存续期间，如果一方不履行抚养子女的义务或双方对抚养权有争议，另一方完全有权通过法律途径维护自己和子女的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。