在发生双方车祸，且医院检查显示伤者并无大碍的情况下，您应当按照以下详细步骤来妥善处理这一事件，以确保双方的权益都得到妥善保障：

一、现场处理与初步沟通

1. 确保安全：首先，您需要立即停车，并在车辆后方设置警示标志，以防止二次事故的发生，确保事故现场的安全。

2. 查看伤者：迅速查看伤者的情况，询问其是否感到不适或疼痛，并立即拨打120急救电话（如果伤者需要紧急医疗救助）和122报警电话，报告事故情况。

3. 保护现场：在等待急救和警方到来的过程中，保护好事故现场，避免移动车辆或相关物品，除非是为了抢救伤者或防止事故扩大。

4. 记录信息：利用手机或相机记录事故现场的照片、视频，以及收集目击者的联系方式，这些信息在后续处理中可能会起到关键作用。

5. 初步沟通：与受害者进行坦诚的沟通，表达您的歉意和关心，询问其是否确实无恙，并提供您的联系方式，以便后续联系和协商。

二、医院检查与证据保留

1. 陪同检查：积极陪同伤者前往医院进行全面检查，确保伤者得到及时的医疗救助，并支付相关费用（这部分费用后续可以通过保险理赔或协商解决）。

2. 保留证据：保留所有医院检查报告、诊断书、费用清单等证据，这些文件是后续处理事故和理赔的重要依据。

3. 与医生沟通：与医生充分沟通，了解伤者的具体情况，确保医生在病历上明确记录检查结果和诊断意见，以便后续参考。

三、报案与保险理赔

1. 及时报案：向当地交通管理部门或警方报案，提供事故详情和必要证据，等待交警出具交通事故责任认定书。

2. 联系保险公司：向自己的保险公司报案，告知事故发生的时间、地点、经过以及人员受伤情况，并提交相关理赔材料，如事故责任认定书、医院检查报告等。

3. 配合调查：配合保险公司的调查核实工作，如实提供相关信息和证据，以便保险公司能够准确评估理赔金额。

四、协商与签订协议

1. 等待责任认定：等待交警出具交通事故责任认定书，明确双方在事故中的责任划分，这是后续协商赔偿的基础。

2. 协商赔偿：根据责任认定书与伤者及其家属进行协商，就赔偿事宜达成一致。赔偿内容可能包括医疗费、误工费、交通费等。

3. 签订协议：签订书面赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式、双方权利义务等内容，并要求对方出具收款收据，以确保双方权益得到保障。

五、法律咨询与权益保护

1. 保持冷静：在整个处理过程中，保持冷静和理智，尊重受害者的权益，并积极合作解决问题。

2. 法律咨询：如遇复杂情况或潜在纠纷，及时咨询专业的法律人士或律师，以获取专业的法律意见和指导，确保您的权益不受侵害。

注意事项：

• 在整个处理过程中，务必保持诚信和负责任的态度，不要隐瞒或虚报任何情况。
• 尊重受害者的权益，积极与其沟通协商，以达成和解，避免不必要的法律纠纷。
• 保护好自己的合法权益，避免因疏忽或不当处理而引发更大的麻烦或损失。

通过以上步骤的妥善处理，您可以有效地解决交通事故所带来的问题，并确保双方的权益都得到妥善保障。