您好，关于您提出的“老师请病假是否会影响教龄”的问题，我可以给您一个详细且清晰的解答。

首先，我们需要明确的是，教职工在病休期间是不计算工龄和教龄的。这一点在您提供的西苑学校请假和公出制度中有明确的说明，即“教职工病休期间不计算工龄和教龄”。这意味着，如果老师因为生病需要长时间休假，并且按照规定办理了病休手续，那么这段时间将不会计入其教龄之中。

然而，这里需要区分的是“病假”和“病休”两个概念。病假通常指的是短期的、因生病需要休息的时间，而病休则是指因病情较重，需要长时间休息并停止工作的情况。在一般情况下，短期的病假（如几天或几周）通常不会影响教龄的计算，因为老师在这段时间内仍然与学校保持着劳动关系，并且有可能在病情好转后迅速返回工作岗位。但是，如果病假时间过长，达到了病休的标准，并且按照规定办理了病休手续，那么这段时间就将不再计入教龄。

此外，我还想提醒您的是，教龄的计算通常与老师的职称评定、工资待遇等方面密切相关。因此，如果老师因为生病需要长时间休假，建议及时与学校沟通，了解相关政策，以便在病情好转后能够尽快恢复工作，减少对教龄和职业发展的影响。

最后，如果老师因为特殊情况需要长时间休假，并且担心教龄的计算问题，也可以咨询当地的教育部门或人事部门，以获取更准确和权威的信息。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。