结论：在起诉离婚分居期间，若对方存在不管不顾的行为，是否可以起诉，需根据具体情况来判断。一般来说，单纯“不管不顾”的行为本身不直接构成法律上的可起诉事由，但如果这种行为导致了严重后果，如遗弃家庭成员，则可能构成法律上的过错，可以在离婚诉讼中作为感情破裂的证据或主张损害赔偿的依据。

详细分析：

1. “不管不顾”行为的法律定性：

   • 在婚姻关系存续期间，夫妻双方有相互扶养的义务。如果一方在分居期间对另一方不管不顾，且这种不管不顾达到了遗弃的程度（即无正当理由拒不履行扶养义务，致使被扶养人处于危难状态），则可能构成遗弃家庭成员，这是法律所禁止的。
   • 然而，如果“不管不顾”并未达到遗弃的程度，比如只是双方因感情不和而分居，一方未主动关心另一方，但并未造成严重后果，那么这种行为本身可能不构成法律上的可起诉事由。

2. 在离婚诉讼中的处理：

   • 作为感情破裂的证据：如果对方的“不管不顾”行为导致了夫妻感情彻底破裂，且无法调和，那么在离婚诉讼中，你可以将这一行为作为感情破裂的证据之一，请求法院判决离婚。
   • 主张损害赔偿：如果对方的“不管不顾”行为构成了遗弃家庭成员，且给你造成了损害（如精神损害、物质损害等），那么在离婚诉讼中，你可以根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，主张损害赔偿。

3. 具体法律条款：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十九条：“夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：……（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；……”。如果对方的“不管不顾”行为构成了遗弃，那么你可以依据这一条款请求法院判决离婚。
   • 同时，根据《中华人民共和国民法典》第一千零九十一条：“有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：……（三）虐待、遗弃家庭成员；……”。如果对方的“不管不顾”行为构成了遗弃，并给你造成了损害，那么你可以依据这一条款主张损害赔偿。

建议：

• 在起诉离婚分居期间，如果对方存在不管不顾的行为，建议你先收集相关证据，如聊天记录、证人证言、医疗记录等，以证明对方的行为构成了遗弃或导致了夫妻感情破裂。
• 然后，你可以向人民法院提起离婚诉讼，并在诉讼中主张对方的“不管不顾”行为作为感情破裂的证据或主张损害赔偿的依据。
• 如果你对法律程序或证据收集有疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。