建设单位确实有责任监督农民工工资的支付情况，这一责任主要体现在以下几个方面：

1. 资金保障责任：

   • 建设单位需向施工单位提供工程款支付担保，确保工程款能按时支付，从而从源头上保障农民工工资的支付。若建设单位未能履行付款义务，施工单位可通过担保获得款项用于支付农民工工资。
   • 建设单位在项目开工前，应确保建设资金落实，不得开工资金来源未落实的项目，特别是政府投资项目，严禁由施工单位垫资建设，以防因资金问题拖欠农民工工资。
   • 建设单位需严格按照合同约定及时拨付工程款，这是确保农民工工资按时支付的基础。拖欠工程款将直接影响施工单位的资金流转，可能导致农民工工资无法按时发放。

2. 工资支付监管责任：

   • 建设单位应按规定开设农民工工资专用账户，专项用于支付农民工工资，并缴存工资保证金（可用金融机构保函替代）。一旦发生拖欠，保证金可用于先行支付农民工工资。
   • 建设单位有责任监督施工总承包单位落实农民工工资支付的各项制度和措施，包括定期了解工资支付情况，检查支付记录，发现问题及时督促解决。
   • 建设单位不得将工程发包给不具备用工主体资格的组织或个人，否则对于因此导致的农民工工资拖欠，建设单位需承担清偿责任。
   • 建设单位在招标过程中，应对施工单位的资质和信誉进行严格审查，选择有良好信誉和实力的施工单位合作，降低拖欠风险。

3. 信息管理责任：

   • 建设单位需按要求配合相关部门建立农民工工资支付监控预警平台，及时上传工程进度、工程款支付等信息，以便实时监控和预警拖欠工资风险。
   • 建设单位应在施工现场显著位置设立维权信息告示牌，明示相关信息，包括建设单位、施工总承包单位等基本信息，劳动用工相关法律法规，工资支付标准、方式、时间等，以及投诉举报电话和信箱，方便农民工维权。

4. 纠纷处理责任：

   • 在特定情况下，如建设单位未按照合同约定及时拨付工程款导致农民工工资拖欠，建设单位应以未结清的工程款为限先行垫付被拖欠的农民工工资。
   • 出现农民工工资纠纷时，建设单位应积极配合相关部门的工作，提供相关资料和信息，协助解决纠纷。涉及工程质量、工程进度等争议事项，应通过合法合理途径与施工单位等相关方协商解决。
   • 若发现施工单位存在恶意拖欠农民工工资的行为，建设单位应及时向当地劳动监察部门或相关行业主管部门举报，以维护农民工的合法权益和社会的稳定。

举例说明：假设某建设单位将一项工程发包给了一家不具备用工主体资格的小公司，结果该小公司拖欠了农民工的工资。在这种情况下，建设单位就需要承担清偿责任，因为其违反了不得将工程发包给不具备用工主体资格的组织或个人的规定。

法律建议：建设单位在工程建设过程中，应严格遵守相关法律法规，切实履行对农民工工资支付的监督责任。同时，建议建设单位与施工单位在合同中明确约定工资支付的相关条款，以确保农民工工资的按时足额支付。若遇到农民工工资纠纷，建设单位应积极配合相关部门的工作，及时提供相关资料和信息，协助解决纠纷。

可能后果：如果建设单位未能履行其监督责任，导致农民工工资被拖欠，建设单位可能会面临法律责任，包括但不限于被要求先行垫付工资、承担清偿责任、受到行政处罚等。同时，这也会影响建设单位的声誉和信誉，对其未来的工程建设项目产生不利影响。