当刑事案件中的犯罪嫌疑人不负刑事责任时，公安机关及司法机关会依据不同阶段和具体情形，依法进行相应的处理。以下是对这一问题的详细解答：
一、不负刑事责任的情形
不负刑事责任通常意味着虽然行为人的行为可能具有违法性，但由于法律上的特定规定或情形，不被追究刑事责任。这些情形主要包括：
- 情节显著轻微、危害不大：如轻微的盗窃案件，盗窃金额小且未造成实质性危害。
- 犯罪嫌疑人、被告人死亡：一旦确认犯罪嫌疑人或被告人死亡，案件将无法继续追究。
- 其他法定免责情形：包括犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪且没有告诉或撤回告诉，以及其他法律规定免予追究刑事责任的情形。
二、不同阶段的处理方式
侦查阶段：
- 处理方式：撤销案件。
- 具体程序：办案部门需制作撤销案件报告书，报县级以上公安机关负责人批准。撤销决定作出后，应立即释放被羁押的犯罪嫌疑人，并发给释放证明书。同时，解除对涉案财物的查封、扣押等强制措施。
- 告知义务：公安机关应在三日以内告知原犯罪嫌疑人、被害人或其近亲属、法定代理人以及案件移送机关撤销案件的决定。
审查起诉阶段：
- 处理方式：作出不起诉决定。
- 法定不起诉情形：与侦查阶段中不负刑事责任的情形相同。
- 酌定不起诉：对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院可以作出不起诉决定。
- 存疑不起诉：对于二次补充侦查的案件，如果人民检察院仍然认为证据不足，不符合起诉条件的，应当作出不起诉决定。
- 后续处理：被不起诉人在押的，应当立即释放；解除对犯罪嫌疑人的强制措施；对侦查中查封、扣押、冻结的财物解除查封、扣押、冻结；需要给予行政处罚、处分或者没收违法所得的，提出检察意见移送有关主管机关处理，并通知处理结果。
审判阶段：
- 终止审理：适用于犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或者撤回告诉、犯罪嫌疑人或被告人死亡等情形。
- 宣告无罪：如果根据已经查明的事实、证据和有关的法律规定，确认被告人无罪的，或者证据不足不能认定被告人有罪的，人民法院应当作出无罪判决。
三、民事赔偿与行政处理
- 民事赔偿责任：虽然行为人不负刑事责任，但若其行为给受害人造成了经济损失，受害人仍有权要求行为人承担民事赔偿责任。双方可协商解决，协商不成可申请调解、仲裁或提起诉讼。
- 行政处理：对于不构成犯罪但违反治安管理等行政法规的行为，公安机关可依据相关行政法规对行为人进行行政处罚，如警告、罚款、行政拘留等。
四、总结
当刑事案件中的犯罪嫌疑人不负刑事责任时，公安机关及司法机关会严格遵循法律规定的程序，根据不同阶段和具体情形作出相应处理。这些处理方式旨在确保案件处理的公正性与合法性，同时保障相关当事人的合法权益不受侵害。在整个过程中，公安机关及司法机关会积极履行告知义务，确保相关当事人及时了解案件进展和处理结果。