事业单位人员患脑梗后，单位一般不能随意辞退，但具体需根据实际情况判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、医疗期内的保护
根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（虽主要针对企业职工，但事业单位在处理类似问题时通常也会参照此规定的精神），职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，单位不得解除劳动合同。对于事业单位人员而言，如果脑梗属于患病范畴，且处于医疗期内，那么单位是不能辞退的。
二、医疗期满后的处理
不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的：
- 如果医疗期满后，事业单位人员仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，那么单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但这种情况需要单位提供充分的证据证明劳动者确实无法从事原工作及另行安排的工作。
医疗期满后能够继续工作的：
- 如果医疗期满后，事业单位人员能够继续工作，那么单位应当继续履行劳动合同，不得辞退。
三、特殊情况下的辞退
严重违反单位规章制度：
- 如果事业单位人员在患病期间严重违反了单位的规章制度，如长期旷工、严重失职等，且这些行为与患病无直接关联，那么单位有权根据规章制度辞退该员工。但这种情况需要单位有明确的规章制度作为依据，并且该规章制度已经向员工公示或告知。
被依法追究刑事责任：
- 如果事业单位人员在患病期间被依法追究刑事责任，如因犯罪被判处刑罚等，那么单位有权根据法律规定辞退该员工。
四、法律建议
保留证据：
- 对于事业单位人员而言，如果担心被辞退，应当保留好与患病、医疗期、工作能力等相关的证据，如医疗证明、工作记录等。这些证据在后续可能发生的劳动争议中将起到关键作用。
及时沟通：
- 如果事业单位人员对单位的辞退决定有异议，应当及时与单位进行沟通，了解辞退的具体原因和依据。如果认为单位的辞退决定违法或不合理，可以寻求法律援助或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
了解法律程序：
- 在处理劳动争议时，了解法律程序是非常重要的。事业单位人员可以咨询专业律师或查阅相关法律法规，了解劳动争议的解决途径和程序，以便更好地维护自己的合法权益。
如果你或你身边的人遇到类似情况，有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。