结论：房东在租户已搬离但不注销营业执照的情况下，一般没有直接责任去注销该营业执照，但房东可以通过合法途径来处理这一问题。

详细分析：

1. 营业执照注销的法定程序：

   • 营业执照的注销是一个严格的法定过程，它涉及税务注销、银行账户注销以及工商注销等多个环节。这些环节都需要由市场主体（即租户）主动向相关登记机关申请办理。
   • 房东作为房屋的出租方，并不具备直接注销租户营业执照的法定权利。营业执照的注销必须遵循法定程序，由租户自身依法向登记机关申请。

2. 房东的责任与应对措施：

   • 沟通协商：房东在发现租户搬走且未注销营业执照时，应首先尝试与租户进行沟通，提醒其尽快办理执照注销或迁移手续。这是最为直接且和平的解决方式。
   • 约定地址变更：在租赁合同中，双方可以事先约定租户在搬出前需办理营业执照的地址变更。若合同中已有此约定，房东可依据合同要求租户迁走营业执照。
   • 举报处理：若沟通无果或无法联系到租户，房东可以向当地市场监督管理部门（如工商局）反映情况。市场监管部门将根据具体情形依法处理，可能包括通知原租户限期改正，逾期不改正的，可依法吊销其营业执照。但这一过程需要房东提供充分的证据来证明租户已实际不再经营且占用执照。

3. 法律依据与合规性：

   • 根据《中华人民共和国市场主体登记管理条例》第三十一条，市场主体的注销应由其自身依法向登记机关申请，并经登记机关注销登记后终止。这一条款明确了营业执照注销的法定性和程序性，房东在处理租户遗留的营业执照问题时，必须严格遵守相关法律法规。
   • 房东在采取任何行动时，都应确保自己的行为合法合规，避免采取强行注销等违法行为，以免给自己带来不必要的法律风险。

建议与提醒：

• 房东在租赁房屋时，应在合同中明确约定租户在搬出前需办理营业执照的地址变更或注销手续，以减少后续纠纷的发生。
• 若租户搬走后未注销营业执照，房东应保持冷静，通过合法途径来处理这一问题，切勿采取过激行为。
• 若房东在处理过程中遇到困难或疑问，可以直接向我咨询，我将根据具体情况为你提供专业的法律建议。

综上所述，房东在租户已搬离但不注销营业执照的情况下，虽然没有直接责任去注销该营业执照，但可以通过沟通协商、约定地址变更或举报处理等合法途径来处理这一问题。