刑事立案审查期限终止的依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。具体来说：
一般规定：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条：“人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。”。虽然该条款并未直接规定审查期限，但它确立了公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，应迅速进行审查的原则，并明确了立案与不立案的条件。在实际操作中，这一原则隐含了对审查期限的合理期待，即审查应在合理时间内完成，以避免无故拖延。
具体期限与终止情形：
- 虽然《刑事诉讼法》未明确规定一个具体的立案审查期限天数，但通常公安机关会在接到材料后的一定时间内（如三日、七日等，具体可能因地区或案件类型而异，且可能受到内部规定或指导性文件的调整）完成初步审查。审查期限的终止，通常发生在公安机关作出立案决定、不予立案决定，或者将案件移送其他机关处理之时。例如，如果公安机关认为有犯罪事实需要追究刑事责任，就会作出立案决定，此时审查期限自然终止；如果认为没有犯罪事实或犯罪事实显著轻微，就会作出不予立案决定，并通知控告人，审查期限也同样终止。
特殊情况下的处理：
- 在某些复杂或疑难的案件中，公安机关可能需要更长时间来完成审查。在这种情况下，公安机关可能会根据内部规定或相关指导性文件，延长审查期限，并通知控告人。然而，这种延长并不是无限制的，而是需要在合理范围内，并确保不违反法律的基本原则和精神。
法律建议：
- 如果您作为控告人或相关方，对公安机关的立案审查期限有疑问或担忧，可以主动与公安机关沟通，了解审查进展和预计完成时间。
- 如果您认为公安机关的审查期限过长或存在无故拖延的情况，可以向其上级机关或相关部门反映情况，寻求帮助或监督。
- 在整个过程中，保留好所有与案件相关的证据和材料，以便在需要时提供证明或支持您的主张。
可能法律后果：
- 如果公安机关未能在合理时间内完成审查并作出决定，可能会面临内部监督或外部投诉的压力，甚至可能承担相应的法律责任。
- 对于控告人来说，如果公安机关不予立案且未给出合理理由，控告人可以依法申请复议或向人民检察院提出申诉，以维护自己的合法权益。