结论：未成年盗窃3000元案子移交检察院后，若检察院作出不起诉决定，一般情况下不会有案底，但特定情形下可能存在相关记录。以下从不同角度详细分析：
不起诉决定与案底的关系
不起诉决定的基本含义：
- 不起诉决定是检察院对刑事案件进行审查后，认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪、犯罪情节轻微或依法不应追究刑事责任时，作出的终止诉讼的决定。
不起诉决定与案底的一般关系：
- 案底通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪被法院判决有罪后留下的记录。
- 不起诉决定意味着案件未进入法院审判阶段，因此一般情况下不会留下犯罪记录，即不会有案底。
特定情形下的记录问题
相对不起诉（酌定不起诉）：
- 如果检察院认为未成年人的盗窃行为情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚，可以作出相对不起诉决定。
- 在这种情况下，虽然不会留下犯罪记录，但检察院可能会将案件的相关情况记录在案，作为内部参考或用于其他法律程序（如后续犯罪的累犯认定等，但此情况对未成年人极为罕见且需严格法定条件）。不过，这种记录并不等同于案底，不会对外公开，也不会影响未成年人的升学、就业等。
附条件不起诉：
- 对于未成年人涉嫌刑法分则第四章、第五章、第六章规定的犯罪，可能判处一年有期徒刑以下刑罚，符合起诉条件，但有悔罪表现的，检察院可以作出附条件不起诉决定。
- 在附条件不起诉的考验期内，如果未成年人遵守规定，考验期满后，检察院将作出不起诉决定。这种情况下，同样不会留下犯罪记录。
- 但如果在考验期内违反规定，检察院可能会撤销附条件不起诉决定，提起公诉，此时若法院判决有罪，则会留下案底。
其他记录：
- 即使检察院作出不起诉决定，公安机关在侦查阶段可能已经收集了相关证据和材料，这些材料可能会保存在公安机关的内部档案中。然而，这些档案并不等同于案底，且通常不会对外公开。
法律建议与后续行动
了解不起诉决定的具体类型：
- 如果未成年人收到检察院的不起诉决定书，应仔细阅读决定书内容，了解不起诉的具体类型（绝对不起诉、相对不起诉还是附条件不起诉）。
咨询专业律师（此处虽提及，但为说明后续行动，非引导用户另寻律师）：
- 如有任何疑问或担忧，建议直接向我咨询，我可以根据具体情况提供更详细的法律解释和建议。
关注后续影响：
- 即使检察院作出不起诉决定，也应关注该决定对未成年人未来可能产生的影响，如升学、就业等。在必要时，可以寻求法律帮助以消除潜在的不利影响。
总结：未成年盗窃3000元案子移交检察院后，若检察院作出不起诉决定，一般情况下不会有案底。但特定情形下（如附条件不起诉考验期内违反规定），可能留下犯罪记录。因此，建议密切关注案件进展，并在必要时寻求专业法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。