在保险代位求偿的情境下，关于“代位追偿是对方还是保险公司起诉”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：
一、保险公司代位求偿的基本流程与权利
当被保险人因第三方（即全责方）的损害行为导致保险事故并遭受损失时，他可以向自己的保险公司申请先行赔付。保险公司在按照保险合同约定向被保险人支付赔款后，即取得代位求偿权。这意味着，保险公司有权在赔偿金额范围内，以自己的名义向全责方进行追偿，包括通过法律途径提起诉讼。
二、保险公司起诉全责方的常见情况
保险公司主动行使代位求偿权：在大多数情况下，保险公司会积极行使代位求偿权，通过起诉全责方来追讨已赔付的款项及相关合理费用。这是保险公司为了弥补自身损失而采取的合法手段。
协商与调解无果后的法律途径：在尝试与全责方进行协商或调解无果后，保险公司会选择通过法律途径来维护自己的权益，即向法院提起诉讼。
三、被保险人在特殊情况下的权利
尽管保险公司是代位求偿的主要执行者，但在某些特殊情况下，被保险人也可能保留起诉全责方的权利：
未完全弥补损失：如果保险公司在代位赔偿后，未能完全弥补被保险人的损失，被保险人可以就剩余部分损失向全责方另行起诉。
保险公司未积极行使代位求偿权：若因保险公司与被保险人之间的纠纷或其他原因，导致保险公司未积极行使代位求偿权，被保险人可以保留自己起诉全责方的权利，以确保自身权益得到保护。
四、代位追偿的法律效果与结论
成功追偿：若保险公司成功向全责方追偿，则被保险人与全责方之间相应的债权债务关系得到解决，被保险人再行起诉将缺乏法律依据。
未完全追偿：若代位追偿未能弥补全部损失，被保险人或保险公司（视具体情况而定）仍有权就未获赔部分向全责方主张权利。
综上所述：在保险代位求偿制度下，通常是由保险公司作为原告起诉全责方以追偿损失。这是因为保险公司在赔付被保险人后，依法取得了代位求偿权，并有权通过法律途径来维护自己的权益。然而，在特定情况下，如保险公司未能完全弥补被保险人的损失或未积极行使代位求偿权时，被保险人也可能保留起诉全责方的权利。因此，在实际操作中，应根据具体情况和法律规定进行判断和处理，以确保各方权益得到妥善保护。