在保险公司赔付后，被保险人仍然有权向侵权人主张赔偿，同时保险公司在特定情况下也享有向侵权人追偿的权利。以下是对此问题的详细解答：
一、被保险人的索赔权
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编，侵权人应承担因其行为造成的损害赔偿责任，包括人身损害赔偿和财产损失赔偿。
- 当被保险人的损失是由第三者的侵权行为造成时，被保险人有权依据民法典的规定向第三者主张赔偿，这一权利并不因获得保险赔偿而丧失。
具体情况分析：
- 财产保险：在财产保险中，如果保险事故是由第三者的行为引起的，被保险人可以先向保险公司申请理赔，获得保险赔偿。同时，被保险人仍有权就未获得保险赔偿的部分或全部损失（取决于保险合同的具体约定）向第三者索赔。
- 人身保险：人身保险的标的是人的生命或身体，其价值无法用金钱衡量。当被保险人因第三者的行为导致人身伤害时，即使获得了保险公司的赔偿（如医疗费用报销、残疾赔偿金等），仍然有权就精神损害抚慰金、误工费等其他损失向第三者索赔。
二、保险公司的追偿权
法律依据：
- 根据《中华人民共和国保险法》第六十条，因第三者对保险标的的损害而造成保险事故的，保险人自向被保险人赔偿保险金之日起，在赔偿金额范围内代位行使被保险人对第三者请求赔偿的权利。
具体适用条件：
- 保险事故由第三者造成：只有当保险事故的发生是由于第三者的过错或违法行为导致时，保险公司才有权向该第三者追偿。
- 第三者应承担赔偿责任：第三者必须对保险事故的发生负有法律责任，且其责任范围应涵盖保险公司的赔偿金额。
- 保险公司已履行赔偿义务：保险公司必须已经按照保险合同的约定向被保险人支付了赔偿金，这是行使代位求偿权的前提条件。
追偿程序与注意事项：
- 通知与协助：在行使代位求偿权之前，保险公司通常会要求被保险人提供有关第三者责任的相关证据和资料，并可能需要被保险人的协助来追讨赔偿。
- 诉讼与执行：如果第三者拒绝赔偿或协商无果，保险公司可以通过法律途径向法院提起诉讼，要求第三者承担赔偿责任。在获得法院支持后，保险公司可以申请强制执行以追回赔偿款项。
- 避免重复获利：被保险人在获得保险赔偿和第三者赔偿时，应确保不会因此重复获利。例如，在财产保险中，如果被保险人已经从保险公司获得了全额赔偿，那么再向第三者索赔时，应扣除已获得的保险赔偿部分。
- 保留证据：无论是被保险人还是保险公司，在向第三者索赔或追偿时，都应提供充分的证据证明自己的损失以及第三者的侵权行为，这有助于支持索赔或追偿请求并提高胜诉的可能性。
三、总结与建议
- 被保险人：在获得保险赔偿后，仍然有权向侵权人主张赔偿，特别是对于那些保险赔偿未覆盖的损失部分。同时，应保留好相关证据，以便在需要时向侵权人索赔。
- 保险公司：在赔偿被保险人后，如果符合法定条件，有权向侵权人追偿。在追偿过程中，应确保程序合法、证据充分，并遵循相关法律法规的规定。
- 双方共同注意事项：在处理此类问题时，应避免重复获利的情况发生，并确保所有索赔和追偿行为都在法律允许的范围内进行。