公民若认为公安机关及其人民警察存在违法失职行为，确实有权进行控告和申诉，这是维护自身合法权益的重要途径。以下是对这一问题的详细解答：
一、控告的情形
公民可以对公安机关及其人民警察的以下行为进行控告：
侵犯人身权利：
- 违法拘留或限制人身自由：如未按照法律规定条件、程序进行拘留，或超期拘留。
- 非法拘禁或剥夺人身自由：如无法律依据的长时间关押。
- 刑讯逼供或身体伤害：在侦查中使用肉刑或变相肉刑逼取口供，或对在押人员进行殴打、虐待。
- 违法使用武器、警械：在不具备法定情形或使用超出必要限度的情况下，对公民造成伤害或死亡。
侵犯财产权利：
- 违法行政处罚：如无法律依据、违反程序或适用法律错误的罚款、吊销许可证等。
- 违法行政强制措施：如无合法手续或不符合法律规定的查封、扣押、冻结财产。
- 违法征收、征用财产：未经法律授权或违反程序强制征收、征用公民财产。
其他违法违纪行为：
- 徇私舞弊、枉法裁判：为私利故意歪曲事实、违反法律作出不公正决定。
- 利用职权谋取私利：通过不正当手段为自己或他人谋取经济利益。
- 还包括拒绝受理或拖延办理案件、拒绝受理复议申请、玩忽职守致使损害、违反法定程序或滥用职权、处理决定或鉴定结论违法等行为。
二、申诉的情形
公民可以对公安机关的以下处理决定或行为进行申诉：
不服公安机关处理决定：
- 行政处罚决定：认为处罚事实不清、证据不足、适用法律错误、程序违法或处罚过重。
- 行政强制措施决定：对查封、扣押、冻结财产或限制人身自由的措施不服。
- 刑事处理决定：对立案、不立案决定或侦查措施有异议。
认为公安机关不履行法定职责：
- 保护人身、财产安全职责未履行：如面临暴力侵害、盗窃时报警，公安机关未及时出警。
- 行政管理职责未履行：如治安管理、交通管理等方面的法定职责未履行。
三、控告和申诉的受理与处理
受理机构：各级公安机关的信访部门是专门负责受理公民控告和申诉的机构。
管辖原则：实行分级管辖、归口办理的原则，即根据控告或申诉的具体内容和性质，由相应级别的公安机关或相关部门进行处理。
处理流程：
- 公安机关会对控告或申诉进行初步核查，决定是否立案查办。
- 在规定期限内告知控告人、申诉人是否立案及理由。
- 对立案查办的控告和申诉及时调查处理，并依法作出决定。
四、注意事项
控告、申诉人应对其真实性负责，不得捏造和歪曲事实，否则将承担相应的法律责任。
公安机关应认真处理控告和申诉，保护控告、申诉人的合法权益，不得置之不理或敷衍塞责。如果公民对公安机关的处理结果不满意，还可以依法向上一级公安机关或相关部门提出复议或申诉。
综上所述，公民在面对公安机关及其人民警察的违法失职行为时，应充分利用控告和申诉的权利，以维护自身的合法权益。同时，公安机关也应依法履行职责，确保公民的控告和申诉得到妥善处理。