当古树名木死亡后，主管部门应当及时组织调查、核实死亡原因，并按照相关规定进行处理，同时需做好记录和报告工作。其法律依据主要包括《城市绿化条例》以及地方性法规等。具体分析如下：
调查核实死亡原因：
- 主管部门在得知古树名木死亡后，应立即组织专业人员或专家团队前往现场，对古树名木的死亡原因进行详细的调查和核实。这是为了确定死亡是否由于自然因素（如老化、病虫害等）还是人为因素（如破坏、污染等）导致，以便后续采取相应的处理措施。
按照相关规定进行处理：
- 根据调查结果，主管部门需依据相关法律法规和规定，对死亡的古树名木进行处理。如果死亡是由于人为因素导致的，主管部门应依法追究相关责任人的法律责任；如果死亡是自然因素导致的，主管部门则需考虑是否进行补植或采取其他生态恢复措施。
- 在处理过程中，主管部门还需注意保护古树名木的遗址和周边环境，避免对生态环境造成进一步破坏。
做好记录和报告工作：
- 主管部门应对古树名木的死亡情况、调查结果、处理措施等进行详细记录，并向上级主管部门或相关部门报告。这有助于上级部门了解古树名木的保护状况，及时调整保护策略，并加强对古树名木保护的监管力度。
法律依据：
- 《城市绿化条例》：该条例对城市绿化的规划、建设、保护和管理等方面做出了明确规定。其中，对于古树名木的保护和管理也有具体条款，如要求建立古树名木档案和标志、划定保护范围、加强养护管理等。当古树名木死亡时，主管部门需依据该条例的相关规定进行处理。
- 地方性法规：各地还可能根据本地实际情况制定有关古树名木保护的地方性法规。这些法规可能对古树名木的死亡处理、责任追究等方面做出更具体、更严格的规定。因此，主管部门在处理古树名木死亡事件时，还需参考并遵守当地的地方性法规。
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