关于继子能否继承爷爷留下的财产，这主要取决于继子与爷爷之间是否形成了法律上的扶养关系，以及爷爷是否留有合法有效的遗嘱。以下从不同情况为您详细分析：

1. 存在合法有效的遗嘱：

   • 如果爷爷在生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了继子作为继承人，那么继子就有权按照遗嘱的约定继承爷爷的财产。
   • 在这种情况下，遗嘱的效力优先于法定继承，因此继子的继承权将得到法律的保护。

2. 不存在遗嘱或遗嘱无效：

   • 如果爷爷没有留下遗嘱，或者遗嘱被认定为无效，那么财产的继承将按照法定继承的规则进行。
   • 在法定继承中，继子能否继承爷爷的财产，关键在于继子与爷爷之间是否形成了法律上的扶养关系。
     • 形成了扶养关系：如果继子与爷爷共同生活，且继子对爷爷尽了主要的赡养义务，那么继子在法律上被视为与爷爷有扶养关系，有权作为第一顺序继承人继承爷爷的财产。
     • 未形成扶养关系：如果继子与爷爷没有共同生活，或者虽然共同生活但未对爷爷尽赡养义务，那么继子在法律上不被视为与爷爷有扶养关系，因此无权继承爷爷的财产。

法律背景与建议：

• 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
• 在处理此类继承问题时，建议首先确认是否存在合法有效的遗嘱。如果存在遗嘱，应按照遗嘱的约定进行继承；如果不存在遗嘱或遗嘱无效，则应按照法定继承的规则进行。
• 如果继子与爷爷之间存在扶养关系争议，或者对继承权有疑问，建议及时咨询专业律师，通过法律途径解决争议，确保自身权益得到保护。

可能法律后果：

• 如果继子符合继承条件但未能及时主张继承权，可能会导致继承权丧失或继承份额减少。
• 如果继子不符合继承条件却强行主张继承权，可能会面临法律诉讼和相应的法律责任。

因此，在处理爷爷留下的财产继承问题时，继子应首先了解自己的法律地位和继承权情况，如有疑问或争议，应及时向我咨询，以便更好地维护自身权益。