在车祸中一方全责且只有交强险的情况下，另一方的保险公司通常不会直接垫付赔偿，但存在一些特殊情形和解决途径，具体分析如下：

1. 交强险的赔偿范围和限额
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》，交强险的赔偿限额分为三部分：

   • 死亡伤残赔偿限额：18万元；
     
   • 医疗费用赔偿限额：1.8万元；
     
   • 财产损失赔偿限额：0.2万元。
     若全责方的交强险足以覆盖无责方的损失（例如无责方损失仅涉及财产损失且未超2000元），则由全责方保险公司直接赔付，无责方无需动用自身保险。
     但若损失超过交强险限额（如医疗费超1.8万、财产损失超0.2万），超出部分需由全责方个人承担，此时无责方保险公司通常不会垫付。

2. 无责方保险公司是否垫付？

   • 商业险不垫付：无责方的商业险（如车损险、三者险）仅用于赔偿自身责任导致的损失，不会为对方的全责行为垫付费用。
     
   • 交强险“无责赔偿”的例外：若全责方受伤，无责方的交强险需在无责赔偿限额内承担部分责任（医疗费1000元、死亡伤残1.1万元），但这与“垫付”无关，而是法定赔偿义务。
     
   • 代位追偿的潜在关联：若全责方拒赔或无力赔偿，无责方可向自身保险公司申请代位追偿（需投保车损险），由保险公司先行赔付后，再向全责方追偿。但代位追偿不属于“垫付”，而是保险公司的追偿权利。

3. 无责方的实际解决途径

   • 直接向全责方索赔：要求全责方个人赔偿超出交强险限额的部分（需保留医疗费、维修费等票据）。
     
   • 申请道路救助基金：若全责方无力赔偿且无责方急需救治，可向当地道路交通事故社会救助基金管理机构申请垫付（仅限医疗费，后续需追偿）。
     
   • 诉讼解决：若协商无果，可通过法院起诉全责方及其保险公司，强制执行赔偿。

总结建议：

1. 优先通过全责方交强险理赔，若不足则要求其个人补足；
   
2. 若全责方拒赔或无力赔偿，可考虑代位追偿（需车损险）或申请救助基金；
   
3. 保留所有损失证据（如医疗记录、维修发票），必要时通过法律途径维权。
   

如有进一步细节（如损失金额、全责方态度等），可继续向我咨询，我会结合具体情形提供更精准的建议。