结论：信用卡欠款5000元，银行是有权起诉的，但具体是否会起诉，取决于多种因素。以下是对此问题的详细分析：

一、法律基础与银行权利

1. 法律依据：根据相关法律法规，银行作为债权人，在持卡人逾期未还款的情况下，有权通过法律途径追讨欠款。这包括向法院提起民事诉讼，要求持卡人偿还欠款本金、利息及可能产生的滞纳金等费用。

2. 银行权利：银行有维护自身合法权益、保障资金安全和正常信贷秩序的需求。因此，当持卡人长期拖欠信用卡欠款时，银行有权采取一系列催收措施，并在必要时提起诉讼。

二、银行催收流程与实际操作

1. 催收措施：在实际操作中，银行通常不会立即采取法律行动。而是会先通过电话、短信、书面通知或上门催收等方式进行多次有效催收，给予持卡人还款的机会和时间。

2. 起诉条件：若经过一段时间的催收后，持卡人仍然拒不还款，且欠款金额（如本案例中的5000元）已足够构成银行关注并可能采取法律行动的门槛，此时银行便有可能启动法律程序。不过，具体是否起诉还取决于银行的内部政策和成本效益考量。

3. 法律后果：一旦银行起诉并获得法院受理与判决，持卡人若仍不履行还款义务，银行可以申请强制执行。法院有权查询、冻结、划扣持卡人的银行账户资金、处置名下资产等。同时，持卡人还将面临信用受损、产生额外的诉讼费用、逾期利息和滞纳金等不利后果。

三、应对策略与建议

1. 主动沟通协商：如果确实面临还款困难，建议持卡人主动与银行沟通，说明情况并提出合理的还款计划。银行可能会根据持卡人的实际情况，给予一定的宽限期或分期还款的安排。

2. 积极应诉准备：如果银行已经提起诉讼，持卡人应积极应诉，准备相关证据材料，如还款记录、收入证明等，以证明自己的还款能力和意愿。同时，也可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（当然，这里你可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见），以更好地维护自己的合法权益。

3. 履行法院判决：如果法院判决持卡人需要偿还欠款，持卡人应按时履行判决义务。如对判决不服，可在规定期限内提起上诉。但需注意，上诉期间原判决一般不停止执行。

四、后续财务规划与信用修复

1. 优先处理债务：通过调整消费习惯、增加收入来源等方式尽快清偿欠款。建议优先偿还已产生诉讼的债务以避免扩大损失。

2. 信用记录恢复：结清欠款后需持续保持良好信用行为，通常不良记录自还清之日起5年后自动消除。期间可通过小额信贷按时还款逐步重建信用评分。

总结：信用卡欠款5000元虽然不算特别巨大，但持卡人仍应认真对待并尽快处理。通过主动沟通协商、积极应诉准备以及履行法院判决等措施，可以有效维护自己的合法权益并减少不良影响。同时，也要注重后续的财务规划和信用修复工作。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。