在一般情况下，公安机关会先对犯罪嫌疑人进行抓捕（执行拘留），随后按照程序申请批准逮捕，并在获得批准后制作并发放逮捕通知书。不过，也存在特殊紧急情况，公安机关可先行拘留，再依法申请批准逮捕并完善相关手续。以下是对这一问题的详细解释：

一、一般情况下的程序

1. 先抓人（执行拘留）：

   • 公安机关在侦查刑事案件过程中，若发现犯罪嫌疑人并有逮捕的必要，通常会先进行抓捕。这一行为在紧急情况下尤为常见，旨在迅速控制犯罪嫌疑人，防止其逃脱或继续犯罪。
   • 例如，在犯罪嫌疑人正在实施犯罪或准备逃跑时，公安机关会立即采取行动进行抓捕。

2. 后有逮捕通知书：

   • 抓捕后，公安机关需向人民检察院提请批准逮捕，提交案卷材料、证据等以供审查。
   • 人民检察院在接到提请后，会在法定时间内（一般为七日以内）作出批准或不批准逮捕的决定。
   • 若批准逮捕，公安机关将执行逮捕，并随后制作逮捕通知书，通知犯罪嫌疑人的家属或所在单位。

3. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人认为需要逮捕的，应在拘留后的三日以内（特殊情况可延长）提请人民检察院审查批准。
   • 人民检察院需在七日以内作出决定，公安机关逮捕时必须出示逮捕证，并在逮捕后二十四小时以内（除无法通知外）通知被逮捕人的家属。

二、特殊紧急情况的处理

• 在某些特殊紧急情况下，如犯罪嫌疑人可能实施新的犯罪、企图自杀或逃跑等，公安机关可以依据法律规定先行拘留，以迅速控制局面。
• 但即使在这种情况下，公安机关也需在拘留后尽快按照程序申请批准逮捕，并完善相关手续，包括制作并发放逮捕通知书。

三、逮捕通知书的作用与意义

• 发放时机：逮捕通知书是在逮捕行为发生后发出的，用于正式告知相关人员犯罪嫌疑人已被逮捕的事实。
• 发放形式：通常由公安机关以正式文件形式发放给被逮捕人或其家属，确保信息的准确性和官方性。
• 意义：逮捕通知书的发放是刑事诉讼程序中的重要环节，不仅保障了犯罪嫌疑人家属的知情权，也体现了法律程序的严谨性和公正性。

总结与建议：

• 在大多数情况下，公安机关会先抓人（执行拘留），再按照程序申请批准逮捕并制作逮捕通知书。
• 在特殊紧急情况下，公安机关可以先行拘留，但需尽快完善相关手续。
• 如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议保持冷静，及时了解相关法律程序，并在必要时寻求专业法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。