针对您提出的问题，即没有结婚证、现在分开了、孩子跟母亲、医学证明丢失，是否可以通过母亲和孩子做亲子鉴定来补办出生证明，以下是我的详细解答：

首先，未婚子女补办出生证明是完全可行的，但需要准备一系列的材料和遵循一定的流程。针对您的情况，由于医学证明已经丢失，且您和孩子父亲未办理结婚登记，您需要特别注意以下几点：

1. 准备身份证明文件：

   • 您需要提供自己的身份证或户口簿等有效身份证明文件。

2. 接生证明或替代材料：

   • 由于原有的出生医学证明已经遗失，您需要准备其他能够证明孩子出生情况的材料。这通常包括居委会或医院出具的证明，说明孩子的分娩情况及实际年龄。

3. 单亲家庭证明材料：

   • 鉴于您和孩子父亲未办理结婚登记，且孩子现在跟您生活，您需要提交单亲家庭的相关证明材料，以证明您是孩子的法定监护人。

4. 填写补发申请表：

   • 您需要填写《出生医学证明》补发申请表，并提交至相关机构进行补办。

5. 亲子鉴定证明：

   • 这是关键步骤：由于您和孩子父亲未办理结婚登记，且出生医学证明丢失，为了确认孩子的生物学身份，您需要提供具有资质的鉴定机构出具的亲子鉴定证明。这个证明将证明您是孩子的亲生母亲，是补办出生证明的重要依据。

6. 前往卫生行政部门补办：

   • 在准备好所有所需材料后，您需要携带这些材料前往当地的卫生行政部门进行补办申请。在补办过程中，可能需要进行相关的登记、审批等程序，具体操作会根据当地的实际情况有所不同。

7. 耐心等待补办结果：

   • 整个补办过程可能需要一定的时间，建议您耐心等待。在等待期间，您可以保持与卫生行政部门的联系，了解补办进度。

额外提醒：

• 如果您希望将来将孩子的户口落在父亲名下（尽管目前孩子跟您生活），或者存在其他需要确认孩子与父亲生物学关系的情况，那么父亲也需要参与亲子鉴定，并提供相应的证明材料。
• 不同地区对于非婚生育子女补办出生证明的具体要求可能有所不同，建议您在补办前先咨询当地卫生行政部门或相关机构，了解具体的补办流程和所需材料。

综上所述，通过母亲和孩子做亲子鉴定，并准备好其他相关材料，您是可以补办孩子的出生证明的。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。