结论：在父亲抛弃孩子四十年后死亡于外地的情况下，子女通常不需要承担法律责任，但可能涉及遗产继承和赡养义务的特殊情况需具体分析。以下从不同角度详细阐述：
一、子女通常无需承担法律责任
抛弃行为本身：父亲抛弃孩子的行为，主要涉及的是道德层面的谴责，而非法律责任。在法律上，除非该行为构成了虐待、遗弃等犯罪行为，并经过了司法机关的认定和处罚，否则子女无需因此承担法律责任。从您描述的情况来看，四十年前父亲抛弃孩子的行为，并未提及涉及犯罪，因此子女无需因此承担法律责任。
父亲死亡后的法律关系：父亲死亡后，其与子女之间的法律关系主要转变为遗产继承关系。除非子女存在故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等法定丧失继承权的情形，否则子女作为法定继承人，有权继承父亲的遗产。
二、可能涉及的特殊情况
遗产继承中的债务清偿：
- 如果父亲生前留有债务，子女在继承遗产时，需要以遗产的实际价值为限清偿父亲的债务。这是《中华人民共和国民法典》中关于遗产继承的明确规定。
- 计算公式（若涉及债务清偿）：子女需清偿的债务 = 父亲生前的债务总额 × （子女继承的遗产价值 / 父亲遗产的总价值）。若子女放弃继承，则无需清偿父亲生前的债务。
赡养义务的特殊情况：
- 通常情况下，赡养义务是针对在世且需要赡养的父母而言的。父亲已经死亡，子女对其的赡养义务自然终止。
- 但如果存在特殊情况，如父亲生前因抛弃行为导致子女生活困难，且子女在父亲晚年时愿意承担赡养义务（尽管法律上无强制要求），这更多是基于道德和情感的考量，而非法律责任。
是否存在遗弃罪等犯罪行为的追诉：
- 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。如果父亲四十年前的抛弃行为构成了遗弃罪，且该罪行在追诉时效内（遗弃罪的追诉时效通常为五年，但自犯罪之日起超过二十年的一般不再追诉，除非最高人民检察院核准），理论上可以追究其刑事责任。然而，由于时间已经过去四十年，且父亲已经死亡，因此实际上无法再追究其刑事责任。
- 此外，即使父亲的行为构成了遗弃罪，这也并不直接导致子女需要承担法律责任。遗弃罪是针对父亲本人的犯罪行为，与子女无关。
三、建议与总结
- 建议：在处理此类问题时，建议子女首先了解父亲生前的财产状况和债务情况，以便在继承遗产时做出合理的决策。同时，如果子女对父亲生前的行为存在疑虑或不满，可以通过法律途径（如提起民事诉讼）来寻求公正和合理的解决方案，但需注意诉讼时效和证据收集等问题。
- 总结：在父亲抛弃孩子四十年后死亡于外地的情况下，子女通常无需承担法律责任。但可能涉及遗产继承中的债务清偿等特殊情况，需具体分析。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。