针对借名购车后对方停止支付月供的情况，可按以下步骤处理，核心结论是优先通过协商或法律途径解决，具体分情况如下：

1. 核查借名购车协议的效力与内容
   若双方签订了书面借名购车协议，需首先确认协议是否合法有效（如是否存在规避限购政策、贷款资格造假等违法情形）。若协议有效，协议中关于月供支付责任、违约处理方式的条款是主张权利的关键依据。例如，若协议明确约定月供由实际购车人（借名人）支付，则名义购车人（出名人）可依据协议要求对方继续履行；若协议未明确或对方拒不履行，需通过其他途径解决。

2. 协商解决：优先尝试沟通
   若协议存在或双方有口头约定，可先与对方协商，要求其继续支付月供或承担违约责任（如赔偿损失、提前还款等）。协商时建议留存书面记录（如微信、邮件），明确对方违约事实及解决方案，为后续法律程序提供证据。

3. 法律途径：根据协议效力选择具体方式

   • 若协议有效：
     名义购车人（出名人）可依据协议向法院起诉，要求实际购车人（借名人）继续履行月供支付义务，或赔偿因违约导致的损失（如逾期利息、信用损失等）。若车辆登记在名义购车人名下，实际购车人拒不还款可能导致名义购车人信用受损，此时可主张对方消除不良影响或赔偿损失。
     
   • 若协议无效（如因规避政策导致无效）：
     双方需根据过错分担责任。名义购车人可能需先承担月供（因车辆登记在其名下，银行会向其追偿），但可向实际购车人追偿其应承担的部分。此时需收集证据证明实际购车人是车辆实际使用人及收益人（如购车款支付记录、车辆使用记录等），以支持追偿主张。

4. 特殊情形处理

   • 车辆被实际购车人处置：若对方擅自转让、抵押车辆，名义购车人可主张对方行为无效（因车辆实际权属可能归借名人），并要求返还车辆或赔偿损失。
     
   • 银行追偿：若名义购车人因对方违约被银行起诉，需及时应诉并说明借名购车事实，同时向实际购车人追偿。若银行不知借名事实，名义购车人可能需先承担还款责任，再向实际购车人追偿。

建议行动步骤：

1. 整理借名购车协议、付款记录、沟通记录等证据；
   
2. 优先与对方协商，明确违约责任及解决方案；
   
3. 若协商无果，根据协议效力及证据情况，向法院起诉或申请仲裁（如有仲裁条款）；
   
4. 若涉及银行追偿，及时咨询律师制定应对方案，避免信用受损。
   

如有进一步细节（如协议内容、对方态度等），可向我补充说明，我会为你提供更具体的分析。