申请法律援助律师可以在刑事诉讼的侦查、审查起诉、审判阶段，以及民事、行政诉讼的诉前、诉中、执行阶段提出。具体分析如下：

1. 刑事诉讼阶段

   • 侦查阶段：犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人。在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。若犯罪嫌疑人经济困难，可在此阶段申请法律援助，由法律援助机构指派律师为其提供辩护。
   • 审查起诉阶段：犯罪嫌疑人自被移送审查起诉之日起，有权委托辩护人。此时，若犯罪嫌疑人符合法律援助条件，可继续申请法律援助律师，法律援助机构将指派律师为其辩护，确保其合法权益得到充分保障。
   • 审判阶段：在案件进入审判阶段后，被告人有权随时委托辩护人。若被告人因经济困难或其他原因无法委托辩护人，可在此阶段申请法律援助，由法律援助机构指派律师为其提供辩护，确保审判的公正性和合法性。

2. 民事、行政诉讼阶段

   • 诉前阶段：在民事、行政诉讼中，当事人若因经济困难或其他原因无法自行聘请律师，可在提起诉讼前向法律援助机构申请法律援助。法律援助机构将根据当事人的申请和案件情况，决定是否指派律师为其提供法律帮助，包括法律咨询、代写法律文书等。
   • 诉中阶段：在诉讼过程中，若当事人因经济困难或其他原因无法继续聘请律师，可向法律援助机构申请法律援助。法律援助机构将根据当事人的申请和案件进展情况，决定是否继续指派律师为其提供辩护或代理服务。
   • 执行阶段：在民事、行政诉讼的执行阶段，若当事人因经济困难或其他原因无法自行申请执行或应对执行异议等，可向法律援助机构申请法律援助。法律援助机构将根据当事人的申请和执行情况，决定是否指派律师为其提供法律帮助。