针对您提出的美容院烫伤事件应该找什么部门解决的问题，以下是我为您提供的详细解答：

当您在美容院遭遇烫伤等医疗美容纠纷时，首先建议您保持冷静，并采取以下步骤来维护自己的合法权益：

一、收集证据

在采取任何行动之前，请务必收集并保存好所有与烫伤事件相关的证据。这包括但不限于：

• 病历记录：包括烫伤后的诊断、治疗过程及医嘱等。
• 票据凭证：如医疗费用发票、药品购买凭证等。
• 照片或视频：记录烫伤部位的现状及变化过程。
• 沟通记录：与美容院工作人员的沟通记录，包括协商、投诉等过程中的书面或电子证据。

二、与美容院协商

在收集好证据后，您可以首先尝试与美容院进行协商，明确提出您的诉求，如修复、退费、赔偿等，并提供相关证据支持。协商过程中，请注意保留沟通记录，如书面协议、聊天记录等，以便后续维权使用。

三、寻求行政介入

如果与美容院的协商无果，您可以拨打12345政务服务便民热线，向有权管辖的卫生健康行政部门、市场监督管理部门等反映情况，申请介入调查或组织调解。这些行政部门将会根据您所反映的问题进行核查，并督促美容院妥善处理纠纷。

四、申请医疗纠纷调解委员会调解

如果您希望快速、便捷地解决医疗纠纷，并借助专家力量，您可以与美容院共同向医疗纠纷人民调解委员会提出调解申请。医调委将会根据纠纷具体情况，选取调解员、医学和法学等专家组成调解组进行调解，并在规定时间内完成调解。如果双方经调解达成一致，医调委将制作调解协议书；如果未达成一致，医调委将出具《终止调解通知书》。

五、申请医疗事故或损害鉴定

如果纠纷涉及医疗技术问题，如是否构成医疗事故、损害程度等，您可以向医疗机构所在地卫生健康行政部门或当地医学会、第三方司法鉴定机构申请医疗事故鉴定或医疗损害鉴定。通过专业鉴定明确责任划分，为后续维权提供科学依据。

六、法律途径

如果以上途径均无法解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。您可以向人民法院提起诉讼，要求美容院承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，请务必提供充分的证据来支持您的诉求。

总之，当您在美容院遭遇烫伤等医疗美容纠纷时，请务必保持冷静，并采取合适的途径来维护自己的合法权益。希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。