结论：农村硬化路旁的杨树不可以私自砍伐。
法律背景与解释：
林木所有权与使用权：
- 根据我国相关法律规定，林木的所有权和使用权通常归属于土地的所有者或使用者，但在农村地区，特别是涉及公共道路旁的林木，其所有权和使用权可能受到更为严格的限制。这些林木往往被视为公共资源，用于美化环境、防风固沙等公共目的。
砍伐许可制度：
- 即便林木的所有权或使用权属于个人或集体，砍伐这些林木也通常需要获得相关部门的许可。这是因为砍伐林木可能影响到生态环境、公共安全以及他人的合法权益。未经许可私自砍伐，可能构成违法行为，需要承担相应的法律责任。
农村硬化路旁杨树的特殊性：
- 农村硬化路旁的杨树，作为道路绿化的一部分，不仅具有美化环境的作用，还可能涉及到道路安全、防风固沙等公共利益。因此，这些林木的砍伐更加受到严格限制。
法律建议：
- 咨询当地林业部门：如果您认为需要砍伐农村硬化路旁的杨树，首先应当咨询当地的林业部门或相关管理部门，了解砍伐的具体规定和程序。
- 申请砍伐许可：在符合砍伐条件的情况下，按照相关部门的要求申请砍伐许可。未经许可，切勿私自砍伐。
- 考虑替代方案：如果砍伐不是必须的，可以考虑通过修剪、移植等方式来处理这些杨树，以减少对公共利益的影响。
可能的法律后果：
- 行政处罚：未经许可私自砍伐林木，可能面临林业部门的行政处罚，包括罚款、没收违法所得等。
- 刑事责任：在情节严重的情况下，如砍伐数量较大或造成严重后果的，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
总结与提醒：
农村硬化路旁的杨树作为公共资源，其砍伐受到严格限制。在处理这些林木时，请务必遵守相关法律法规，咨询当地林业部门或相关管理部门，按照规定的程序进行申请和操作。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。