被控告敲诈勒索后，公安机关的立案时间并没有严格固定的天数限制，但通常会在接受案件后的三日内决定是否立案，对于复杂、重大、疑难案件，立案审查期限可能会延长。以下是对此问题的详细分析：
一、立案的基本条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事案件的立案需满足以下条件：
- 有犯罪事实：即已经发生的敲诈勒索行为，且该行为符合刑法规定的构成要件。
- 需要追究刑事责任：即该敲诈勒索行为已达到法律规定的立案标准，应当受到刑事处罚。
- 属于自己管辖：即案件应由报案的公安机关或其他司法机关管辖。
二、立案流程与时间
- 报案与受理：被害人或其法定代理人、近亲属可以向公安机关报案，提交相关证据材料。公安机关在接到报案后，会进行初步审查，判断是否符合立案条件。
- 调查取证：如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，公安机关会展开调查取证工作，收集相关证据以证实犯罪嫌疑人的犯罪行为。
- 决定是否立案：
- 一般情况下：经过调查取证后，公安机关会根据掌握的证据情况，决定是否对犯罪嫌疑人立案侦查。这一决定通常在接到报案后的三日内作出。
- 特殊情况下：
- 若案件情况复杂，如勒索行为涉及多个环节、众多人员，或证据收集难度较大等，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至七日。
- 对于重大、疑难、复杂线索，经地（市）级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至三十日。特殊情况下，如需进一步延长，需经过更高级别的公安机关批准，但延长期限通常不会超过六十日。
- 通知报案人：公安机关作出立案决定后，会及时通知报案人。如果决定不予立案，也会向报案人说明理由，并在三日以内送达不予立案通知书。
三、影响立案时间的因素
- 案件复杂性：如果案件涉及多个犯罪嫌疑人、跨地区作案或存在其他复杂情况，调查取证的难度和时间可能会增加，从而影响立案时间。
- 证据收集情况：证据的充分性和可靠性是决定是否立案的关键因素。如果证据不足或难以获取，可能会导致立案时间延长。
- 司法资源分配：公安机关的工作负荷和司法资源的分配也会影响立案时间。在案件高发期或司法资源紧张的情况下，立案时间可能会相对较长。
四、报案人的权利与救济途径
如果报警人对公安机关不予立案决定不服，可以在收到不予立案通知书后七日以内向作出决定的公安机关申请复议。公安机关应在收到复议申请后三十日以内作出决定，并将决定书送达控告人。控告人对不予立案的复议决定不服的，可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应在收到复核申请后三十日以内作出决定，情况复杂的可经批准延长三十日作出复核决定。
五、建议与提示
- 保持沟通：报案后，建议保持与警方的密切沟通，及时了解案件进展和立案情况。
- 法律咨询：如遇法律问题或疑虑，可直接向我咨询，以获取更详细的法律建议和帮助。
综上所述，被控告敲诈勒索后的立案时间受多种因素影响，包括案件的复杂性、证据的充分性以及当地公安机关的工作流程等。报案人应了解相关法律规定和程序，积极与警方配合，并适时寻求法律援助以保护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。