在服刑期中被打伤是一个严重的问题，需要立即得到妥善处理。以下是从监狱责任、受伤犯人及其家属权益保障、监管部门监督与责任追究，以及实际操作建议四个方面，为您提供的详细解答：
一、监狱的即时责任与处理流程
及时救治：
- 监狱有责任保障犯人的基本生命健康和安全。一旦发生犯人被打伤事件，监狱应立即安排医疗人员对受伤犯人进行救治，确保其生命安全。同时，对伤情进行详细诊断和记录，包括受伤部位、程度及可能的后遗症等，为后续处理提供依据。
报告与调查：
- 受伤犯人或目击者应立即向监狱管理人员或狱警报告。监狱需迅速展开内部调查，通过调取监控录像（如有）、询问在场证人及对涉事犯人讯问等方式，查清事件起因、经过和具体情况，确定责任方。调查过程应严格遵循程序规定，确保结果公正客观。
对打人者的处理：
- 根据调查结果和相关规定，对打人犯人给予相应处罚，包括警告、记过、禁闭等纪律处分。若打伤行为构成犯罪，如故意伤害罪，监狱应将相关情况移送司法机关，依法追究其刑事责任。
二、受伤犯人及其家属的权益保障
申诉权利：
- 受伤犯人有权向监狱管理部门提出申诉，要求对打人者进行公正处理，并保障自身合法权益。监狱应认真审查和处理申诉，及时反馈处理结果。
- 如对处理结果不满意，受伤犯人及其家属可通过法律途径向人民检察院等监督机关提出控告和申诉，寻求进一步救济。
民事赔偿：
- 受伤犯人或其家属可要求打人者承担民事赔偿责任，赔偿范围包括医疗费、误工费（在监狱中可能表现为劳动报酬的损失）、护理费、残疾赔偿金（如构成残疾）等。赔偿请求可通过协商解决，或通过民事诉讼等法律途径解决。
三、监管部门的监督与责任追究
人民检察院监督：
- 人民检察院作为法律监督机关，对监狱的执法活动进行监督。若发现监狱在处理犯人被打伤事件中存在违法行为或处理不当，人民检察院有权提出纠正意见，督促监狱依法履行职责。
追究相关人员责任：
- 若监狱工作人员在事件发生过程中存在失职、渎职等行为，如未及时发现和制止打架、未妥善处理后续事宜等，相关责任人员可能会被追究相应责任；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
四、实际操作建议
- 详细记录与证据收集：受伤犯人及其家属应尽可能详细地记录被打伤的时间、地点、涉及人员及伤情，并保留相关证据，如伤情照片、医疗记录等，以便后续申诉或诉讼使用。
- 法律援助与律师介入：若伤势严重或监狱处理不公，受伤犯人及其家属可考虑寻求法律援助或聘请律师进行维权。律师可提供专业法律建议，协助起诉相关责任方、申请赔偿等。
综上所述，面对监狱内的暴力行为，受伤犯人及其家属应积极采取措施保护自身权益，同时呼吁相关部门加强监管和管理，确保监狱内的安全和秩序得到有效维护。