结论前置：劳务派遣工在工厂受工伤时，赔偿责任主要由劳务派遣单位承担，用工单位在特定情况下需承担连带赔偿责任。以下是详细分析：
一、赔偿责任主体
劳务派遣单位：
- 作为被派遣劳动者的用人单位，劳务派遣单位应履行对劳动者的全部义务，包括缴纳社会保险费和申请工伤认定。
- 当劳务派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位需按照《工伤保险条例》的规定，支付医疗费用、康复费用、停工留薪期间的工资福利等工伤保险待遇。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条明确规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括承担工伤保险责任。
用工单位：
- 用工单位是实际使用劳务派遣员工的单位，虽然不直接承担工伤保险责任，但有义务协助劳务派遣单位进行工伤认定的调查核实工作。
- 若用工单位提供的劳动条件或安全设施不符合规定，导致派遣员工受伤，用工单位需与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条第二款规定，用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。
二、工伤认定及赔偿程序
工伤认定：
- 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 特殊情况下，经社会保险行政部门同意，申请时限可适当延长。若劳务派遣单位未按规定时间提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在1年内直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 法律依据：《工伤保险条例》第十七条对工伤认定的申请时限和申请主体有明确规定。
赔偿程序：
- 认定为工伤后，劳动者可依法享受工伤保险待遇。劳务派遣单位应按照规定的项目和标准支付费用给工伤职工。
- 若劳务派遣单位未依法参加工伤保险，则需自行承担全部工伤保险待遇的支付责任。
- 在连带赔偿责任的情况下，工伤职工可选择向劳务派遣单位或用工单位要求赔偿，两者均有义务进行赔偿。
三、具体赔付项目及标准
工伤保险基金支付部分：
- 包括医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、辅助器具费用、生活护理费、一次性伤残补助金等。
- 具体标准根据伤残等级和地方政府规定执行。
用人单位支付部分：
- 停工留薪期工资福利待遇：工伤期间，原工资福利待遇不变，由劳务派遣单位按月支付。
- 伤残津贴（五至六级伤残难以安排工作时）：若难以安排工作，由劳务派遣单位按月支付伤残津贴。
四、综合建议
- 劳务派遣单位：应依法为劳动者缴纳社会保险费，并及时申请工伤认定，确保劳动者能够享受到应有的工伤保险待遇。
- 用工单位：应提供安全的劳动条件和必要的劳动保护设施，防止工伤事故的发生。若因用工单位的过错导致工伤事故，应承担相应的赔偿责任。
- 劳动者：在发生工伤后，应及时向劳务派遣单位报告，并保留好相关证据，以便后续申请工伤认定和享受工伤保险待遇。
温馨提示：劳务派遣工在工厂受工伤时，应首先与劳务派遣单位沟通，要求其履行工伤保险责任。若劳务派遣单位不履行或用工单位存在过错，可依法向相关部门投诉或寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。