关于继父离世后母亲跟继父儿子谁有继承权的问题，这主要取决于继父的儿子（即继子）与继父之间是否存在抚养关系，以及继父是否立有遗嘱。以下是从不同角度进行的详细分析：
存在抚养关系的情况：
- 如果继子在未成年时与继父共同生活，并受到了继父的抚养教育，或者继父对已成年但限制行为能力或无行为能力的继子履行了抚养义务，那么他们之间就形成了法律上的拟制血亲关系。
- 在此情况下，继子作为法定第一顺序继承人中的子女，享有对继父遗产的继承权。这意味着，在继父去世后，继子有权与继父的其他法定继承人（如配偶、亲生子女等）一起参与遗产的分配。
- 例子：假设小张在其母亲改嫁老李后，由老李抚养成人。老李去世时，小张因存在抚养关系而有权继承老李的遗产，同时小张的母亲（老李的配偶）也有权继承。
不存在抚养关系的情况：
- 如果继子在其生父或生母再婚时已经成年，或者虽然未成年但与继父未共同生活且未受到继父的抚养教育，那么他们之间就不存在抚养关系。
- 此时，继子通常不享有对继父遗产的法定继承权，因为双方仅构成名义上的亲属关系，而非法律上的父母子女关系。在这种情况下，继父的遗产将由其其他法定继承人（如配偶、亲生子女等）继承。
- 例子：假设小王在其母亲改嫁老赵时已经成年，且未与老赵共同生活。老赵去世时，小王因不存在抚养关系而无权继承老赵的遗产，老赵的遗产将由其配偶和亲生子女等法定继承人继承。
遗嘱对继承权的影响：
- 如果继父在生前立有遗嘱，并明确指定由继子继承其遗产，那么无论继父与继子之间是否存在抚养关系，继子都可以作为遗嘱继承人继承继父的遗产。
- 这一规定体现了尊重被继承人意愿的原则。因此，在继父去世后，应首先查看其是否留有遗嘱，并按照遗嘱的内容进行遗产分配。
法律建议：
- 在处理这类问题时，建议家庭成员之间加强沟通，明确各自的权利和义务。
- 如果对继子是否享有继承权存在争议，可以尝试通过协商解决。协商不成时，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据具体情况进行认定和判决。
- 法院在判断继子与继父之间是否存在抚养关系时，会综合考虑双方是否共同生活、继父是否对继子进行了长期的抚养和教育行为等因素。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条：遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条：继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
综上所述，继父离世后母亲跟继父儿子谁有继承权，主要取决于继子与继父之间是否存在抚养关系以及继父是否留有遗嘱。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。