结论：打狗队打死狗是否可以起诉，需根据具体情况判断，主要取决于打狗队的行为是否合法以及狗主人的权益是否受到侵害。以下从不同角度进行分析：
一、打狗队行为的合法性
合法执行公务：
- 如果打狗队是在执行政府部门的合法命令，如捕捉流浪狗或处理危险犬只，且操作符合相关规定（如使用合法手段、确保公共安全等），则其行为可能被视为合法。
- 在此情况下，狗主人通常难以直接起诉打狗队，因为其行为属于执行公务，且可能受到法律保护。但狗主人可以就打狗过程中可能存在的程序瑕疵或不当行为（如未提前通知、未采取必要保护措施等）向相关部门提出异议或申诉。
非法行为：
- 如果打狗队的行为超出法律授权范围，如无故打死家养犬只、使用暴力手段等，则可能构成违法行为。
- 在此情况下，狗主人有权向公安机关报案，要求追究打狗队成员的刑事责任（如故意毁坏财物罪、虐待动物罪等，具体罪名需根据实际情况判断）。同时，狗主人也可以提起民事诉讼，要求打狗队或相关责任方赔偿损失。
二、狗主人的权益保护
财产权保护：
- 狗作为狗主人的财产，受到法律保护。如果打狗队非法打死狗，狗主人有权要求赔偿损失，包括狗的购买价值、饲养成本等。
- 狗主人需提供相关证据（如购买凭证、饲养记录等）来证明其损失。
精神损害赔偿：
- 在某些情况下，狗主人可能因狗的死亡而遭受精神损害。如果打狗队的行为构成侵权，且狗主人能够证明其精神损害与打狗队的行为之间存在因果关系，则有权要求精神损害赔偿。
- 但需注意，精神损害赔偿的认定和计算通常较为复杂，需根据具体情况和法律规定进行判断。
三、起诉流程与注意事项
收集证据：
- 狗主人应尽可能收集与打狗队行为相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等。
- 这些证据将有助于证明打狗队的行为是否合法以及狗主人的损失情况。
咨询律师：
- 在决定起诉前，狗主人应咨询专业律师，了解相关法律规定和诉讼程序。
- 律师将能够提供具体的法律建议和指导，帮助狗主人制定合适的诉讼策略。
提起诉讼：
- 如果狗主人决定起诉，应向有管辖权的人民法院提起诉讼，并提交相关证据和起诉状。
- 法院将依法审理案件，并作出判决。
建议：如果打狗队的行为涉嫌违法且侵犯了狗主人的权益，狗主人有权通过法律途径维护自己的合法权益。在处理此类纠纷时，建议狗主人保持冷静、理性，并寻求专业律师的帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。