核心结论：母亲去世34年但死亡证明缺失，可通过以下途径解决，具体需结合实际情况选择合适方式：

1. 向原户籍地公安机关申请补办或出具证明

• 法律依据：根据《户口登记条例》及公安机关户籍管理规范，死亡证明原则上由医疗机构或公安机关出具。若原始证明遗失，可向母亲生前户籍所在地派出所申请查询户籍档案，调取死亡登记记录或补办证明。
• 操作建议：
  • 携带本人身份证、户口本（如与母亲在同一户口）、亲属关系证明（如出生证、档案记载等）到派出所申请查询；
  • 若户籍档案已电子化，可直接申请出具《死亡注销证明》；若档案未保留，可要求派出所出具《户籍证明》并注明死亡事实。

2. 联系母亲生前最后就诊的医院补开证明

• 适用场景：若母亲因病去世且在医院死亡，医院可能留存死亡记录或病历。
• 操作建议：
  • 携带母亲身份证号、姓名、大致死亡时间等信息到医院病案室申请调取病历；
  • 若医院已更名或合并，可联系当地卫生健康委员会协助查询档案归属。

3. 通过公证处办理亲属关系公证

• 适用场景：若死亡证明无法补办，但需证明母亲已故（如继承房产、领取抚恤金等），可通过公证处出具《亲属关系公证书》间接证明死亡事实。
• 操作建议：
  • 准备本人身份证、户口本、母亲生前单位或居委会出具的死亡情况说明（如有）；
  • 公证处会通过调查档案、询问证人等方式核实后出具公证书。

4. 向法院申请宣告死亡（极端情况）

• 适用场景：若母亲下落不明满4年（因意外事故下落不明满2年），且需通过法律程序确认死亡事实（如处理遗产、解除婚姻关系等）。
• 操作建议：
  • 向母亲最后居住地或财产所在地法院提交申请书、下落不明证明（如居委会证明、报警记录等）；
  • 法院公告期满后将作出宣告死亡判决，该判决具有法律效力。

注意事项：

• 时间限制：死亡证明补办无明确时效限制，但档案保存期限可能影响查询结果（如户籍档案一般保存30年，需尽快申请）；
• 证明效力：不同场景对证明形式要求不同，建议提前与使用部门（如银行、房管局）确认具体要求；
• 情感关怀：处理此类问题可能涉及回忆痛苦经历，建议调整心态，必要时可寻求家人协助。

温馨提示：若过程中遇到具体障碍（如派出所拒绝查询、医院不配合等），可进一步向我咨询应对策略，我会结合具体情形提供法律指导。