结论：在合作方负责的业务导致公司对外赔偿并欠下债务的情况下，是否可以直接起诉合作方违约责任，取决于合作协议中的具体约定以及合作方是否存在违约行为。以下从不同角度进行分析：
一、合作协议有明确约定
违约责任条款：
- 如果合作协议中明确约定了合作方在特定情况下（如因合作方原因导致公司对外赔偿）应承担的违约责任，那么公司可以直接依据该条款起诉合作方，要求其承担违约责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条：“当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。”
赔偿范围与方式：
- 合作协议中可能还约定了赔偿的具体范围（如赔偿公司因对外赔偿而产生的全部损失）和方式（如一次性支付或分期支付）。这些约定将作为公司起诉合作方时的重要依据。
二、合作协议无明确约定或约定不明
违约行为认定：
- 即使合作协议中没有明确约定违约责任，但如果合作方确实存在违约行为（如未按照协议约定履行义务，导致公司对外赔偿），公司仍然可以起诉合作方，要求其承担违约责任。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条，合作方未履行合同义务或履行不符合约定，即构成违约，应承担相应责任。
损失赔偿范围：
- 在合作协议无明确约定的情况下，公司需要证明其因合作方的违约行为而遭受了实际损失，并要求合作方赔偿这些损失。损失赔偿的范围通常包括直接损失和间接损失，但具体范围可能需要根据案件具体情况和法院判决来确定。
- 实践建议：公司应收集并保存好与损失相关的所有证据，如赔偿协议、支付凭证、损失计算依据等，以便在起诉时提供充分的证据支持。
三、其他考虑因素
因果关系：
- 公司需要证明合作方的违约行为与其对外赔偿并欠下债务之间存在直接的因果关系。如果合作方的违约行为并非导致公司对外赔偿的唯一或主要原因，那么公司可能难以要求合作方承担全部责任。
合作方抗辩：
- 在起诉过程中，合作方可能会提出各种抗辩理由，如不可抗力、第三方原因等，以试图免除或减轻其责任。公司需要针对这些抗辩理由进行充分的准备和反驳。
建议：在决定是否起诉合作方之前，公司应仔细审查合作协议中的相关条款，并收集充分的证据来证明合作方的违约行为及其与公司对外赔偿之间的因果关系。如果公司对此存在疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议和指导。