在处理双方相互辱骂的情况时，我们首先要明确的是，这种行为可能涉及民事责任、行政责任乃至刑事责任，具体取决于辱骂的严重程度、影响范围及后果。以下是对此类事件处理的详细解答：

一、初步处理与调查

当双方发生辱骂并报警后，派出所会立即响应，安排民警前往现场。民警到达后，会迅速控制局面，防止事态进一步恶化。接着，民警会分别询问双方当事人，了解事情经过，并寻找可能的目击者或其他相关人员作为证人，以获取更全面的信息。同时，民警还会查看现场监控录像、录音等物证，对当事人的陈述和证人的证言进行详细记录。

二、行为定性与法律适用

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的行为属于违法行为。如果辱骂行为尚未达到刑事犯罪的程度，如未造成严重后果或未构成侮辱罪、诽谤罪，则通常按照治安案件处理。具体来说，可以依据《治安管理处罚法》第四十二条的规定，对辱骂他人者处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。

三、调解与处理决定

在事实清楚、责任明确的基础上，民警会尝试对双方当事人进行调解。调解的目的是促使双方达成和解协议，化解矛盾纠纷。如果调解成功，双方当事人可以签订和解协议，互不追究对方责任。然而，如果调解不成或一方拒绝调解，派出所将依法对违法行为人作出行政处罚决定。

四、民事责任与赔偿

除了行政责任外，辱骂他人还可能涉及民事责任。根据《中华人民共和国民法典》，自然人的人身自由、人格尊严受法律保护。辱骂他人侵犯了对方的人格权，特别是名誉权。因此，侵权方需承担消除影响、恢复名誉、赔礼道歉等民事责任。若拒不履行，人民法院有权采取多种强制措施，如公告发布或公布裁判文书，相关费用由行为人承担。

五、刑事责任与严重后果

在极端情况下，如果辱骂行为情节严重，如手段恶劣、后果严重（如造成精神失常、自杀等），则可能构成侮辱罪或寻衅滋事罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，侮辱罪可处三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利；寻衅滋事罪则可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。若纠集他人多次实施，严重破坏社会秩序，则处五年以上十年以下有期徒刑，并可并处罚金。

六、综合建议与预防

为了避免此类事件的发生，我们倡导文明交流，尊重他人，避免使用辱骂性语言。对于个人而言，了解并遵守相关法律法规是保护自身权益和避免法律责任的重要途径。同时，社会各界也应共同努力，营造和谐、文明的社会氛围。

综上所述，处理双方相互辱骂的情况需要综合考虑多种因素，包括辱骂的严重程度、影响范围及后果等。在处理过程中，公安机关会依法进行调查、定性、调解和处理决定，并确保处罚决定的合法性和公正性。