结论前置：租车时若车辆没有行驶证原件被交警抓到，应保持冷静并积极配合交警执法，同时及时联系租车公司。根据具体情况，租车人可能面临不同的法律后果。以下是详细分析和建议：
一、积极配合交警执法
表明态度与如实说明情况：
- 遇到交警检查时，应立即停车并保持冷静礼貌。
- 主动向交警出示自己的驾驶证和身份证件，同时如实告知车辆是租用的，且自己未携带行驶证原件。
- 避免隐瞒或提供虚假信息，以免引发不必要的法律麻烦。
提供相关证明文件：
- 尽可能地向交警提供租车合同、租车公司的联系方式以及任何能够证明车辆来源和租赁关系的资料。
- 这些文件有助于证明你的身份和车辆的合法来源，从而可能减轻法律责任。
二、视不同情况解决问题
租车人不知情
- 无过错方处理：如果租车时租车公司未明确告知车辆无行驶证，租车人属于无过错方。交警一般不会对租车人进行实质性处罚，但可能会暂扣车辆以待进一步核实。
- 及时联系租车公司：此时，租车人应及时联系租车公司，要求其尽快提供行驶证或相关证明文件以取回车辆。
- 经济损失赔偿：因车辆被暂扣导致的经济损失（如耽误行程产生的额外费用），租车人可以依据租车合同与租车公司协商赔偿事宜；协商不成时，可通过法律途径维护自身权益。
租车人知情仍使用
- 行政处罚：如果租车人在明知车辆没有行驶证的情况下仍然选择租用并上路行驶，将面临相应的行政处罚。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十五条，公安机关交通管理部门将扣留机动车，并要求当事人提供相应的牌证、标志或补办相应手续；同时可依据该法第九十条处以警告或二十元以上二百元以下的罚款（具体罚款金额由各地根据实际情况确定）。
- 法律责任承担：在此情况下，租车人需自行承担因违法行为产生的法律后果，包括接受处罚、支付罚款以及可能的车辆扣押费用等。
三、法律背景与依据
- 《中华人民共和国道路交通安全法》第九十五条：上道路行驶的机动车未悬挂机动车号牌，未放置检验合格标志、保险标志，或者未随车携带行驶证、驾驶证的，公安机关交通管理部门应当扣留机动车，通知当事人提供相应的牌证、标志或者补办相应手续，并可以依照本法第九十条的规定予以处罚。当事人提供相应的牌证、标志或者补办相应手续的，应当及时退还机动车。
- 《中华人民共和国道路交通安全法》第九十条：机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规关于道路通行规定的，处警告或者二十元以上二百元以下罚款。本法另有规定的，依照规定处罚。
四、预防与建议
- 租车前仔细检查：为避免此类情况发生，租车前应仔细检查车辆的相关证件，确保车辆手续齐全、合法合规。
- 了解并遵守交通法规：同时，了解并遵守交通法律法规，增强法律意识，确保行车安全。
总结：租车时若车辆没有行驶证原件被交警抓到，租车人应保持冷静并积极配合执法，同时根据具体情况采取不同的应对措施。如果租车人不知情且无过错，应及时联系租车公司并协商赔偿；如果租车人知情仍使用，则需自行承担法律后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。