当夫妻一方亡故后，其银行存款的处理确实是一个需要细致对待的问题，它涉及到法律、金融等多个方面。以下是我为您整理的详细解答：

一、首要步骤：确定存款性质

1. 夫妻共同财产：根据《中华人民共和国民法典》，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，一般视为共同财产。因此，在一方亡故时，需先将共同财产进行均分，其中一半归在世配偶所有，另一半则作为亡故一方的遗产。

2. 个人财产：如果存款能被证明是亡故一方的婚前财产，或者通过遗嘱、赠与合同等法定形式确定为个人所有，那么该存款将全额作为遗产进行分配。

二、遗产分配原则

1. 遗嘱继承优先：如果亡故一方留有合法有效的遗嘱，并且明确指定了存款的继承人或分配方式，那么将严格按照遗嘱执行。遗嘱继承具有法律效力，优先于法定继承。

2. 法定继承顺序：在无有效遗嘱的情况下，遗产将按照《中华人民共和国民法典》规定的法定继承顺序进行分配。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。通常情况下，遗产会由第一顺序继承人平均分配，但在特殊情况下（如生活困难、尽主要扶养义务等），分配比例可能会适当调整。

三、银行取款及手续办理

1. 知晓密码的情况：

   • 如果继承人知晓亡故一方的账户密码，并且存款金额在一定额度内（具体额度因银行而异），部分银行可能允许凭身份证直接支取。但这种情况较为有限，且不同银行的规定可能有所不同。

2. 未知密码或大额存款：

   • 继承人需要携带亡故一方的死亡证明、继承权证明（如遗嘱、公证书、法院判决书等）以及个人身份证明，前往公证处办理继承权公证，或者直接向法院提起诉讼解决争议。
   • 办理完继承权公证或获得法院判决书后，继承人可以凭这些有效证明文件前往银行办理存款的支取或过户手续。

四、特殊情况及注意事项

1. 特殊情况处理：

   • 如果夫妻一方亡故时，另一方因故无法履行抚养义务（如在服刑），孩子的抚养权将依据法律规定及实际情况，可能由在世一方的直系亲属或其他合适人选承担。同时，服刑一方仍享有探视等法定权利。但这与存款处理无直接关联，只是在此提及以供参考。

2. 注意事项：

   • 在处理存款前，务必确认所有所需文件（如死亡证明、亲属关系证明、遗嘱、继承权公证书等）均已准备齐全。
   • 如遇疑问或困难，应及时咨询专业律师或银行工作人员，以确保操作的合法性和顺利性。
   • 不同银行对于具体手续和要求可能存在差异，建议在办理取款前先与相关银行进行沟通，了解详细流程和所需材料。

总结：夫妻一方亡故后，其银行存款的处理需要遵循法律程序，首先明确存款性质，再依据遗嘱或法定继承顺序进行分配。在处理过程中，应充分考虑各继承人的合法权益及实际情况，确保遗产分配的公正与合理。同时，继承人需了解并遵守银行的相关规定和流程，以便顺利办理存款的支取或过户手续。希望这些解答能对您有所帮助。