结论：公司不能仅因员工患有精神病而随意开除，但在特定条件下有权解除劳动合同，并需依法支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、精神病员工的工作权益保护
根据《中华人民共和国劳动法》与《中华人民共和国劳动合同法》，精神病员工的工作权益受到严格法律保护。他们享有平等就业、选择职业以及取得劳动报酬等权利，只要能够胜任工作，公司不得因其疾病而歧视或开除。
二、医疗期内的保护
医疗期定义与时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期时长根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，为3个月到24个月不等。例如，实际工作年限十年以下的，本单位工作年限五年以下的为3个月；五年以上的为6个月。
医疗期内待遇：
- 在医疗期内，公司不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
- 公司需支付病假工资或疾病救济金，并继续缴纳社会保险费。
三、公司可以解除劳动合同的情况
尽管精神病员工的工作权益受法律保护，但在以下特定情况下，公司有权解除劳动合同：
医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：
- 根据《劳动合同法》第四十条，若员工在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 此时，公司需按照法律规定支付经济补偿，补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
存在严重违纪等情形：
- 若精神病员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反规章制度、严重失职给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等，无论是否在医疗期内，公司都可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
四、解除劳动合同后的补偿与赔偿
经济补偿标准：
- 即使符合解除劳动合同的条件，公司仍需按《劳动合同法》第四十六条的规定支付经济补偿。
- 补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
违法解除的赔偿：
- 若公司违反法律规定解除与精神病员工的劳动合同，员工可以要求继续履行劳动合同；若不要求继续履行或劳动合同已不能继续履行，公司需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
五、建议与总结
- 公司角度：在处理患有精神病的员工时，公司应严格遵守相关法律法规，确保不侵犯其合法权益。在特定条件下解除劳动合同时，也需依法支付相应的经济补偿。
- 员工角度：若员工认为公司违法解除劳动合同，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
综上所述，公司不能仅因员工患有精神病而随意开除，但在特定条件下有权解除劳动合同，并需依法支付经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。