在刑事案件中，当犯罪嫌疑人服刑完毕后提出翻供，这是一个涉及法律程序与证据审查的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：
一、翻供的提出与初步审查
犯罪嫌疑人或被告人在服刑完毕后，若认为之前的供述存在错误或受到不正当影响，有权在任何时候提出翻供。提出翻供后，相关司法机关（如监狱管理部门、检察机关或审判机关，具体取决于翻供的提出时机和案件状态）会立即对翻供内容进行初步审查。这一审查过程包括询问翻供的具体原因、内容，以及要求提供相关的证据材料来支持其翻供的主张。
二、重新调查取证与证据审查
重新调查取证：
- 若翻供内容涉及新的线索或情况，司法机关会启动重新调查程序。这可能包括重新询问犯罪嫌疑人或被告人，以全面了解翻供的具体情况；进一步收集其他证据，如重新勘查现场、寻找新证人或对原有证人进行再次询问等，以核实翻供内容的真实性。
证据审查：
- 司法机关会对现有全部证据进行综合审查，包括原供述、新收集的证据以及翻供内容。分析翻供是否合理，以及其他证据能否与翻供内容相互印证或反驳。若发现证据之间存在矛盾或疑点，司法机关将采取进一步措施进行调查核实。
三、特定诉讼阶段的处理（若案件进入再审或相关程序）
虽然犯罪嫌疑人已服刑完毕，但若翻供内容足以影响原判决的公正性，且符合法定条件，案件可能会进入再审程序或其他相关法律程序。在这些程序中：
- 法庭调查：法官会让被告人陈述翻供的理由和内容，并进行质证。公诉人、辩护人可就翻供进行发问和辩论。
- 合议庭审议：合议庭会综合考虑庭审查明的事实、证据及控辩双方意见，判断翻供是否成立，并依法作出判决或裁定。
四、后续可能流程
上诉与抗诉（若再审判决后不服）：
- 如对再审判决不服，被告人可在规定期限内提出上诉；检察机关如认为判决有误，也可提出抗诉。上一级法院将对案件进行二审审理。
申诉：
- 若判决已生效但当事人认为有冤情，且符合法定申诉条件，可向人民法院或人民检察院提出申诉。申诉符合法定条件的，可启动再审程序。
五、翻供后的具体处理原则
全面审查证据：
- 司法机关会重新审视案件的所有证据，确保定案的根据是确实充分的。
合理审查翻供原因：
- 详细询问被告人翻供的原因，并对其解释进行合理性的审查。如因刑讯逼供等违法行为而翻供，将进一步调查核实。
验证翻供内容：
- 通过变换角度反复询问被告人、传唤同案人到庭质证等方式，验证翻供内容与其他证据的一致性。
依法处理：
- 若翻供无理且原证据充分，司法机关可依据原证据维持原判决；若翻供有理且影响定罪量刑，司法机关将依法重新调查取证，并根据新证据对案件进行重新评估和处理。
六、注意事项
- 翻供本身不会加重刑罚，但恶意的翻供可能会让被告人丧失获得减轻处罚等机会。
- 翻供后的流程可能因具体情况而有所不同，特别是在案件已服刑完毕的情况下，需要依据相关法律法规和司法程序进行。
- 翻供后的处理结果取决于新证据的证明力以及原判决的错误程度等因素。
综上所述，犯罪嫌疑人服刑完毕后提出翻供是一个复杂且敏感的问题，需要司法机关依法、公正、全面地处理。若您或您身边的人遇到此类问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律帮助。