当同一个案子的双方，即原告和被告都提起上诉时，二审法院会遵循一系列严谨且有序的程序来处理，以确保司法公正与效率。以下是对这一情况的详细解答：
二审法院的处理原则
二审法院在处理双方都上诉的案件时，会全面审查一审裁判涉及的所有事实认定、法律适用以及程序合法性。这不受上诉范围的限制，意味着二审法院会对整个案件进行重新审视。
可能的判决结果
驳回上诉，维持原判：
- 如果二审法院认为原判决认定事实清楚，适用法律正确，且程序合法，那么它会以判决或裁定的方式驳回双方的上诉，维持原判决。
依法改判：
- 如果原判决在事实认定或法律适用上存在错误，二审法院会依法进行改判。这包括对事实错误的纠正、法律适用的调整，以及量刑不当（在刑事诉讼中）的修正。
撤销原判，发回重审：
- 如果原判决存在基本事实不清、遗漏当事人、违法缺席判决等严重违反法定程序的情形，二审法院会裁定撤销原判决，并将案件发回原审人民法院重新审判。在刑事诉讼中，如果发现一审法院存在违反法律规定的诉讼程序情形，且可能影响公正审判的，也会采取同样的措施。
二审法院的审理程序
接收上诉状：
- 原告和被告需向一审法院递交上诉状，详细列明上诉理由、请求及证据法律依据。一审法院会在规定时间内将上诉状及案卷材料转交二审法院，从而启动二审程序。
审查上诉条件：
- 二审法院会核实上诉主体资格、上诉期限、上诉请求等是否符合法律规定。如果不符合条件，二审法院将裁定不予受理或驳回上诉。
组成合议庭：
- 二审案件由三人以上单数的审判员组成合议庭进行审理。合议庭会全面审查一审认定的事实和法律，确保审理的公正性和准确性。
通知相关诉讼参与人：
- 二审法院会通知各方当事人、诉讼代理人等参与二审诉讼，并告知开庭时间、地点等事项，确保各方能够充分行使诉讼权利。
合并审理与分别审查：
- 二审法院会将原告和被告的上诉请求合并审理，因为两者针对的是同一一审裁判，存在紧密联系。同时，也会分别细致审查双方的上诉请求，判断一审判决在事实、法律及程序上是否存在错误。
证据审查与调解：
- 在二审过程中，法院会对新提交的证据进行审查判断，并组织双方质证。此外，法院仍会遵循调解优先原则，尝试对双方进行调解。如果调解成功，会制作调解书并送达双方，此时一审判决视为撤销。
终审判决的效力
二审法院的判决为终审判决，具有法律效力。当事人必须履行这一判决，如果对二审判决不服，可以依法申请再审，但再审的启动条件和程序相对严格。
诉讼费用的承担
在双方都上诉的情况下，双方需各自预缴诉讼费。具体承担方式根据二审判决结果确定，通常由败诉方承担；如果双方上诉请求部分被支持、部分被驳回，则按各自败诉的比例分担；如果双方上诉请求都被驳回，则各自承担自己的诉讼费。
综上所述，当同一个案子的原告和被告都提起上诉时，二审法院会严格按照法定程序进行审理，并依据事实和法律作出公正、合理的终审判决。