结论：一审判决事实认定错误，判决生效后未上诉，一审法院院长可以依职权启动再审程序，但并非“可以不”启动，而是“可以”启动，且启动再审需符合法定条件。以下从法律背景、启动条件、法律后果三个角度详细分析：
一、法律背景：法院院长启动再审的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第205条（或《中华人民共和国刑事诉讼法》第254条，视案件性质而定）规定：
“各级人民法院院长对本院已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误，认为需要再审的，应当提交审判委员会讨论决定。”
这一条款明确赋予了法院院长对本院生效判决的监督权，但需满足两个核心条件：
- “确有错误”：指判决存在事实认定错误、法律适用错误或程序违法等根本性瑕疵；
- “提交审判委员会讨论”：院长个人无权直接决定再审，需经审判委员会集体决议。
二、启动再审的具体条件
结合司法实践，法院院长启动再审通常需满足以下情形之一：
- 事实认定错误：如关键证据未质证、证据采信错误导致事实认定与客观情况严重不符；
- 法律适用错误：如错误适用已废止的法律、对法律条款理解偏差导致判决结果显失公平；
- 程序违法：如应当回避的审判人员未回避、剥夺当事人辩论权利等严重违反法定程序；
- 其他重大瑕疵：如判决结果涉及国家利益、社会公共利益，或存在贪污受贿、徇私舞弊等违法行为。
举例：若一审判决将“借款合同”错误认定为“赠与合同”，导致债务人无需还款，属于典型的事实认定错误，符合再审启动条件。
三、启动再审的法律后果
- 中止原判决执行：再审程序启动后，原判决的执行通常会被中止，但涉及财产保全、先予执行等紧急措施的除外；
- 重新审理案件：再审法院会全面审查案件事实和法律适用，可能维持原判、改判或发回重审；
- 对当事人的影响：
- 若再审改判支持原告诉求，被告需履行新判决义务；
- 若维持原判，则原判决继续有效，当事人不得以同一事由再次申请再审。
特别提示：即使法院院长未主动启动再审，当事人也可通过以下途径寻求救济：
- 申请检察院抗诉：向同级或上级检察院提交《再审检察建议申请书》，请求检察院提出抗诉；
- 自行申请再审：在判决生效后6个月内，向原审法院或上一级法院提交《再审申请书》，附新证据或证明原判决错误的材料。
四、实务建议
- 及时固定证据：若发现原判决错误，应尽快收集新证据（如证人证言、书证、鉴定意见等），避免证据灭失；
- 咨询专业律师：再审程序涉及复杂的法律适用和程序操作，建议委托律师起草再审申请书或参与庭审，提高成功率；
- 关注时效限制：再审申请需在判决生效后6个月内提出，逾期将丧失救济权利（特殊情形可延长，但需严格符合法定条件）。
如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询，我将结合您的案件细节提供针对性建议。