结论：未续签合同但租客仍然居住的情况下，房产税的缴纳与租赁合同的状态无直接关系，而是主要取决于房产的所有权归属及当地房产税的具体规定。一般来说，房产税仍需由房产所有者缴纳。
详细分析：
房产税的基本原则：
- 房产税是针对房产所有者征收的一种税，其缴纳义务通常与房产的所有权直接相关，而非与租赁合同的状态直接挂钩。
- 无论租赁合同是否续签，只要房产的所有权未发生变更，房产税的缴纳义务就仍然存在。
租赁合同状态的影响：
- 租赁合同未续签，但租客继续居住，这主要影响的是租赁关系的法律状态，即双方可能处于不定期租赁状态。
- 不定期租赁状态下，双方的权利义务可能受到一定限制，但这并不改变房产所有者对房产税的缴纳义务。
当地房产税的具体规定：
- 房产税的缴纳还受到当地具体税收法规的影响。不同地区可能对房产税的税率、计税依据、缴纳方式等有不同的规定。
- 因此，在确定是否需要缴纳房产税以及缴纳多少时，需要参考当地的房产税法规。
实际操作建议：
- 作为房产所有者，即使租赁合同未续签，也应继续关注并履行房产税的缴纳义务，以避免可能的法律风险和罚款。
- 如果对当地的房产税法规不熟悉，建议咨询当地税务部门或专业律师，以获取准确的税务指导和建议。
特殊情况说明：
- 如果房产所有者与租客之间有特别约定，比如租客承担部分或全部房产税，那么这种约定在双方之间是有效的。但这种约定并不改变房产税在法律上的缴纳义务主体，只是在实际操作中由租客代为缴纳。如果租客未履行缴纳义务，房产所有者仍需承担法律责任。
后续行动建议：
- 建议您先查阅当地的房产税法规，了解具体的税率、计税依据和缴纳方式。
- 如果对法规内容有疑问或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。