结论：仲裁申请撤销后，当事人一般是可以进行诉讼的，但具体能否起诉以及起诉的程序需根据仲裁类型和相关法律规定来判断。在劳动仲裁的情境下，若仲裁裁决被人民法院裁定撤销，当事人可以自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
一、法律依据与类型分析
劳动仲裁的特殊性：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议仲裁具有其特殊性。当劳动仲裁裁决被人民法院裁定撤销后，为了保障劳动者的权益，确保劳动争议能够得到及时、公正的解决，法律特别规定了劳动者和用人单位都可以在收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
其他类型仲裁：
- 对于非劳动仲裁的其他类型仲裁，如国内仲裁或涉外仲裁，若仲裁裁决被人民法院依法撤销，当事人同样拥有选择重新仲裁或诉讼的权利。但具体能否重新仲裁，需根据双方是否重新达成仲裁协议来判断。若无法达成新的仲裁协议，则当事人应向人民法院提起诉讼。
二、诉讼权利与程序
提起诉讼的期限：
- 在劳动仲裁中，当事人需在收到撤销裁决的裁定书后十五日内向人民法院提起诉讼。这一期限是法定的，逾期将可能丧失诉讼权利。
诉讼程序：
- 提起诉讼时，当事人需遵循民事诉讼程序的相关规定，包括提交起诉状、提供相关证据材料、缴纳诉讼费用等。人民法院将依法受理并审理案件，根据事实和法律作出相应的判决或裁定。
三、实际操作建议
仔细研究撤销理由：
- 在提起诉讼前，当事人应仔细研究撤销裁决的理由和法律依据，确保自己的诉讼请求具有合理性和合法性。这有助于当事人在诉讼中更好地维护自己的权益。
积极配合审理工作：
- 在诉讼过程中，当事人应积极配合人民法院的审理工作，如实陈述事实、提供证据，并遵守法庭纪律。这有助于加快诉讼进程，提高诉讼效率。
关注上诉与再审：
- 如果对人民法院的判决或裁定不服，当事人可以依法提起上诉或申请再审。但需注意，上诉和再审均需遵守相关法律程序的规定，且并非所有案件都能成功上诉或再审。
四、特殊情况考虑
超裁情况：
- 若仲裁裁决因“超裁”而被撤销，即裁决的事项超出了仲裁协议的范围，且当事人对于超出部分没有达成新的仲裁协议，那么当事人不得就这部分争议再次申请仲裁。此时，当事人应就超出部分的争议向人民法院提起诉讼。
新证据或理由：
- 若当事人在撤销仲裁申请后发现了新的证据或理由，且这些新证据或理由足以影响案件结果，那么当事人可以在诉讼中提出这些新证据或理由，以支持自己的诉讼请求。
总结与建议：仲裁申请撤销后，当事人一般是可以进行诉讼的，但具体能否起诉以及起诉的程序需根据仲裁类型和相关法律规定来判断。在实际操作中，建议当事人仔细研究撤销理由、积极配合审理工作，并关注上诉与再审的可能性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。