结论：因开设赌场罪被法院依法定罪判刑后，留下的案底是永久保存的，不会消除。以下从多个角度进行详细分析：

犯罪记录的定义与永久性

案底，通常指某人过去犯法或犯罪行为的记录，在我国法律中特指有过刑事犯罪前科的档案记录。这些犯罪档案一般存放于公安部门与相关国家机关，用于记录个人的犯罪历史。根据相关法律规定，一旦个人被人民法院判定有罪，就会留下犯罪记录，这个记录是伴随个人终生的，不会被消除。对于开设赌场罪而言，一旦被判刑，该犯罪记录就会在公安机关的系统中永久保存。

封存制度的适用与限制

虽然我国有未成年人犯罪记录封存制度，但这一制度并不适用于所有犯罪情况。具体来说，对于犯罪时不满十八周岁，且被判处五年有期徒刑以下刑罚的未成年人，其犯罪记录应当予以封存。然而，开设赌场罪的量刑幅度通常较大，根据《中华人民共和国刑法》第三百零三条第二款的规定，开设赌场的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。因此，开设赌场罪很难符合该封存制度的条件。

即便符合封存条件，也只是对犯罪记录进行封存，而非消除。封存后的犯罪记录，除司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询外，不得向任何单位和个人提供。这意味着，虽然犯罪记录被封存，但在特定情况下，仍然可以被有权机关查询和使用。

不同情况下的法律后果

1. 构成犯罪并被判处刑罚：

   • 一旦行为人因开设赌场罪被人民法院判决有罪并判处相应刑罚，其犯罪记录（即案底）将被登记并保存。这种记录是终身的，且通常可以被相关司法机关和特定单位在特定情况下查询到。

2. 不构成犯罪或免于刑事处罚：

   • 如果开设赌场的行为情节显著轻微且危害不大，依据《刑法》第十三条的规定，这样的行为可能不被认为是犯罪，因此不会留下案底。
   • 对于犯罪情节轻微不需要判处刑罚的，根据《刑法》第三十七条的规定，法院可以决定免予刑事处罚。这意味着尽管行为人的行为构成了犯罪，但由于情节较轻等原因，法院决定不给予实际的刑罚处罚，在这种情况下，行为人也不会留下案底。但这种情况在开设赌场罪中较为罕见，因为开设赌场罪通常涉及较严重的社会危害性。

法律建议与警示

鉴于犯罪记录的永久性和对个人的深远影响，我建议公众远离任何违法犯罪行为，包括开设赌场等严重犯罪行为。遵守法律法规，维护社会和谐稳定，是每个公民应尽的责任和义务。

总结：因开设赌场罪被判刑后留下的案底是永久保存的，不会消除。这一结论基于我国相关法律规定和犯罪记录管理制度。因此，公众应严格遵守法律法规，避免参与任何形式的赌博活动。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。