结论：房屋买卖合同未约定付款日期时，卖方仍然有权进行催收。
详细分析：
合同未约定付款日期的法律后果：
- 在房屋买卖合同中，付款日期是合同的重要条款之一，但并非绝对必要条款。若合同未明确约定付款日期，这并不意味着买方可以无限期拖延付款。根据《民法典》的相关规定，合同履行期限不明确的，债务人可以随时履行，债权人也可以随时请求履行，但是应当给对方必要的准备时间。因此，卖方有权要求买方在合理期限内付款。
卖方的催收权利：
- 卖方在发现买方未按时付款（尽管合同未明确约定付款日期，但买方仍应按照交易习惯或合理期限付款）后，有权进行催收。催收的方式可以是口头或书面，但为了保留证据，建议采用书面形式，如发送催告函或律师函。
- 催告函中应明确告知买方其付款义务，并限定一个合理的付款期限。这个合理期限应根据交易习惯、房屋交易的具体情况以及买方的实际情况等因素综合考虑确定。
买方未响应催收的法律后果：
- 若买方在催告后的合理期限内仍未付款，卖方有权根据合同约定和法律规定采取进一步措施。这包括但不限于解除合同、要求买方承担违约责任（如支付违约金、赔偿损失等）以及通过法律途径解决纠纷。
- 解除合同后，卖方可以收回房屋，并有权要求买方赔偿因违约行为给卖方造成的损失，包括但不限于房价波动导致的差价损失、卖方为交易付出的合理费用等。
法律途径与证据保留：
- 若协商和催收均无法解决纠纷，卖方可以根据合同中的仲裁条款将纠纷提交给约定的仲裁机构进行仲裁；若没有仲裁条款，则可以向房屋所在地有管辖权的人民法院提起诉讼。
- 在此过程中，卖方应提供充分的证据来证明买方的违约行为以及自己所遭受的损失。这包括但不限于合同、催告函、付款凭证、损失计算依据等。
建议与注意事项：
- 明确合同条款：在签订房屋买卖合同时，双方应尽可能明确约定付款日期、违约责任及赔偿标准等条款，以便在发生纠纷时有据可依。
- 及时催收与处理：卖方在发现买方未按时付款后，应及时进行催收并采取相应措施，以避免资金流转受阻、合同无法履行及额外的法律纠纷。
- 保留证据：卖方应妥善保管与交易相关的所有文件和证据，以便在必要时使用。
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