结论：私家车回家带人收费，乘客受伤时的责任归属需根据具体情况判断，可能涉及驾驶员责任、乘客自身责任或第三方责任。以下从不同角度详细分析：
一、驾驶员责任
合同关系下的责任：
- 驾驶员与乘客之间形成了有偿的运输合同关系。根据《中华人民共和国民法典》中关于客运合同的规定，驾驶员有义务将乘客安全送达目的地。若因驾驶员的过错（如超速、违规驾驶等）导致乘客受伤，驾驶员应承担违约责任，赔偿乘客因此遭受的损失。
侵权责任：
- 若驾驶员的驾驶行为违反了交通法规，且该违法行为与乘客受伤之间存在因果关系，驾驶员还可能构成侵权，需承担侵权责任。这包括赔偿乘客的医疗费、误工费、护理费等直接经济损失，以及可能的残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
二、乘客自身责任
过错相抵原则：
- 如果乘客在乘车过程中存在过错（如未系安全带、干扰驾驶员驾驶等），且该过错与受伤结果之间存在因果关系，根据过错相抵原则，乘客应自行承担一部分责任。这意味着驾驶员的赔偿责任可能会因乘客的过错而减轻。
自甘风险原则（特定情境下）：
- 在某些特定情境下，如乘客明知驾驶员存在严重违法行为（如酒驾、毒驾）仍选择乘车，并因此受伤，乘客可能被视为自甘风险，自行承担部分或全部责任。但这一原则的适用需严格限定条件，并非所有情况下都适用。
三、第三方责任
其他车辆或行人的责任：
- 若乘客受伤是由其他车辆或行人的违法行为导致的，如其他车辆违规变道、行人突然闯入机动车道等，那么责任应由该第三方承担。驾驶员在承担赔偿责任后，有权向第三方追偿。
道路管理者的责任：
- 在极少数情况下，如果乘客受伤是由于道路设计缺陷、施工未设置警示标志等道路管理者的过错导致的，道路管理者也可能需要承担一定的责任。
四、特殊情况考虑
- 保险理赔：如果驾驶员购买了车上人员责任险等商业保险，乘客受伤后的赔偿问题可能涉及保险理赔。驾驶员应及时向保险公司报案，并按照保险合同的约定进行理赔。
- 证据收集：在处理此类纠纷时，证据的收集至关重要。包括但不限于交通事故认定书、医疗记录、证人证言等。这些证据将有助于确定责任归属和赔偿金额。
建议：
- 对于驾驶员而言，应严格遵守交通法规，确保行车安全。在提供有偿运输服务时，最好与乘客签订书面合同，明确双方的权利和义务。
- 对于乘客而言，在乘车前应了解驾驶员的驾驶资质和车辆状况，乘车过程中应遵守交通规则，系好安全带，不干扰驾驶员驾驶。
- 若发生交通事故导致乘客受伤，双方应及时报警并保留好相关证据。在协商赔偿无果的情况下，可以寻求法律途径解决纠纷。
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