申请检察监督的事实，主要是指申请人在申请法律监督时，需要明确阐述并证明的相关法律活动存在的违法或不当之处。具体来说，这包括以下几个方面：
具体法律活动的事实：
- 申请人需要详细描述所申请监督的具体法律活动，如刑事诉讼、民事诉讼、行政诉讼或执行活动等。例如，在民事诉讼中，可能涉及一审、二审的判决或裁定，申请人需要说明这些判决或裁定中存在的具体问题。
违法或不当之处的事实：
- 申请人需要指出相关法律活动中存在的违法或不当之处。这可能包括程序违法（如未依法送达法律文书、未依法开庭审理等）、实体违法（如错误认定事实、错误适用法律等）或其他不当行为（如滥用职权、徇私舞弊等）。
- 例如，在民事诉讼中，申请人可能认为原判决认定事实错误，因为新发现了足以推翻原判决认定事实的证据。这时，申请人就需要详细阐述这些新证据的内容及其如何证明原判决认定事实错误。
证据线索和法律条文支撑的事实：
- 申请人需要提供具体的证据线索来支持其申请主张。这些证据线索可能包括书证、物证、证人证言、视听资料等。
- 同时，申请人还需要引用相关的法律条文来支撑其申请主张。例如，在民事诉讼中，申请人可能引用《民事诉讼法》中关于再审或抗诉的相关规定来支持其申请。
在准备申请检察监督的材料时，申请人需要特别注意以下几点：
- 监督申请书：这是申请的核心文件，必须详细写明申请人的基本信息、被申请人信息（如有）、申请监督的具体事项及请求。申请书中应清晰阐述申请监督的事实和理由，指出相关法律活动存在的违法或不当之处，并提供具体的证据线索和法律条文支撑。
- 相关法律文书：根据申请监督的事项，提供相关的判决书、裁定书、决定书等法律文书副本。这些文书是证明相关法律活动存在的重要依据。
- 证据材料：收集并提交能够支持申请主张的各类证据。如果认为原判决认定事实错误，需提供新发现的足以推翻原判决认定事实的证据。
申请检察监督的流程：
- 确定受理检察院：一般情况下，应向作出相关法律决定或开展相关法律活动的同级检察院申请监督。特殊情形下，上级检察院也可受理。
- 提交申请材料：可以选择现场提交、邮寄提交、在线提交或电话提交等方式将申请材料提交给检察院。
- 关注后续处理进度并配合调查：检察院将在规定时间内对申请材料进行审查，决定是否受理。若申请被受理，检察院可能会对相关事项进行调查核实，如调阅案件卷宗、询问当事人等。申请人应积极配合调查工作，如实提供信息和证据。
最后需要强调的是，申请检察监督是一个严谨且有序的过程，申请人需确保材料真实完整，并积极配合检察院的调查工作。如果在这个过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。