结论前置：私人小厂在一般情况下是无权随意罚工人工资的，但特定情况下，如因工人过错给工厂造成损失，工厂可依法要求赔偿，不过赔偿方式及金额需遵循法律规定。

详细分析：

1. 工厂无权随意罚款：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，工资是劳动者提供劳动后应得的报酬，用人单位（包括私人小厂）不得随意克扣或无故拖欠。
   • 私人小厂并非行政机关或具有行政处罚权的机构，因此不具备对工人进行罚款的法定权力。

2. 特定情况下的赔偿：

   • 如果工人因故意或重大过失给工厂造成了经济损失，工厂有权要求工人进行赔偿。
   • 但赔偿的方式和金额需遵循法律规定，不能随意从工人工资中扣除。通常，工厂应与工人协商确定赔偿方案，或通过法律途径解决争议。
   • 根据《工资支付暂行规定》第十六条，因劳动者本人原因给用人单位造成经济损失的，用人单位可按照劳动合同的约定要求其赔偿经济损失。经济损失的赔偿，可从劳动者本人的工资中扣除，但每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%。若扣除后的剩余工资部分低于当地月最低工资标准，则按最低工资标准支付。

3. 工厂应遵守的程序：

   • 如果工厂认为工人应承担赔偿责任，应首先与工人进行协商，明确赔偿金额和方式。
   • 如果协商不成，工厂可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决争议，而不是单方面从工人工资中扣除赔偿款。

4. 工人的权益保护：

   • 工人有权拒绝工厂的不合理罚款要求，并可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
   • 如果工厂的行为违反了劳动法律法规，工人还可以依法要求工厂承担相应的法律责任。

建议与行动：

• 如果你是工人，遇到工厂随意罚款的情况，应首先与工厂沟通，了解罚款的原因和依据。如果认为罚款不合理或违法，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
• 如果你是工厂主，应确保自己的管理行为符合法律法规要求，避免随意罚款或克扣工人工资。如果因工人过错需要赔偿，应与工人协商确定合理的赔偿方案，并遵守相关法律规定。

总结：私人小厂在一般情况下无权随意罚工人工资，但在特定情况下可依法要求工人赔偿经济损失。双方应遵守相关法律法规，通过协商或法律途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。